آمار
آمار
آمار (به انگلیسی: statistics) به مجموعه‌ی دادههای عددی مربوط به یک موضوع (معمولا مهم)، مانند جمعیت، متوفیات، میزان تجارت داخلی یا خارجی، دما یا بارش ماهیانه و غیر گفته می‌شود. آمار را باید علم و عمل استخراج، بسط، و توسعهٔ دانشهای تجربی انسانی با استفاده از روشهای گردآوری، تنظیم، پرورش، و تحلیل دادههای تجربی (حاصل از اندازه گیری و آزمایش) دانست.
زمینه‌های محاسباتی و رایانهای جدیدتری همچون یادگیری ماشینی، و کاوش‌های ماشینی در دادهها، در واقع، امتداد و گسترش دانش گسترده و کهن از آمار به عهد محاسبات نو و دوران اعمال شیوه‌های ماشینی در همه‌جا می‌باشد. علم آمار، علم فن فراهم کردن دادههای کمّی و تحلیل آنها به منظور به دست آورن نتیایجی که اگرچه احتمالی است، اما در خور اعتماد است.
در صورتی که شاخه‌ای علمی مد نظر نباشد، معنای آن، داده‌هایی به‌شکل ارقام و اعداد واقعی یا تقریبی است که با استفاده از علم آمار می‌توان با آنها رفتار کرد و عملیات ذکر شده در بالا را بر آنها انجام داد. بیشتر مردم با کلمة آمار به مفهومی که برای ثبت و نمایش اطلاعات عددی به کار می‌رود آشنا هستند. ولی این مفهوم منطبق با موضوع اصلی مورد بحث آمار نیست. آمار عمدتاً با وضعیتهایی سر و کار دارد که در آنها وقوع یک پیشامد به طور حتمی قابل پیش بینی نیست. اسنتاجهای آماری غالباً غیر حتمی اند، زیرا مبتنی بر اطلاعات ناکاملی هستند. در طول چندین دهه آمار فقط با بیان اطلاعات و مقادیر عددی در باره اقتصاد، جمعیت‌شناسی و اوضاع سیاسی حاکم در یک کشور سر و کار داشت. حتی امروز بسیاری از نشریات و گزارشهای دولتی که توده‌ای از آمار و ارقام را در بردارند معنی اولیه کلمه آمار را در ذهن زنده می‌کنند. اکثر افراد معمولی هنوز این تصویر غلط را در باره آمار دارند که آن را منحصر به ستونهای عددی سرگیجه آور و گاهی یک سری شکلهای مبهوت کننده می‌دانند. بنابراین، یادآوری این نکته ضروری است که نظریه و روشهای جدید آماری از حد ساختن جدولهای اعداد و نمودارها بسیار فراتر رفته‌اند. آمار به عنوان یک موضوع علمی، امروزه شامل مفاهیم و روشهایی است که در تمام پژوهشهایی که مستلزم جمع آوری دادهها به وسیله یک فرایند آزمایش و مشاهده و انجام استنباط و نتیجه گیری به وسیله تجزیه و تحلیل این دادهها هستند اهمیت بسیار دارند.
علم آمار
علم آمار، خود مبتنی است بر نظریه آمار که شاخه‌ای از ریاضیات کاربردی به حساب می‌آید. در نظریهٔ آمار، اتفاقات تصادفی و عدم قطعیت توسط نظریهٔ احتمالات مدل‌سازی می‌شوند. در این علم، مطالعه و قضاوت معقول در بارهٔ موضوع‌های گوناگون، بر مبنای یک جمع انجام می‌شود و قضاوت در مورد یک فرد خاص، اصلاً مطرح نیست.
از جملهٔ مهمترین اهداف آمار، می‌توان تولید «بهترین» اطّلاعات از دادههای موجود و سپس استخراج دانش از آن اطّلاعات را ذکر کرد. به همین سبب است که برخی از منابع، آمار را شاخه‌ای از نظریه تصمیم‌ها به شمار می‌آورند.
این علم به بخش‌های آمار توصیفی و آمار استنباطی تقسیم می‌شود. از طرف دیگر می‌توان آن را به دو بخش آمار کلاسیک و آمار بیز تقسیم بندی کرد. در آمار کلاسیک، که امروزه در دانشگاه‌ها و دبیرستان‌ها تدریس می‌گردد، ابتدا آزمایش و نتیجه را داریم و بعد بر اساس آنها فرض‌ها را آزمون می‌کنیم. به عبارت دیگر ابتدا آزمایش انجام می‌شود و بعد فرض آزمون می‌گردد. در آمار بیزی ابتدا فرض در نظر گرفته می‌شود و دادهها با آن مطابقت داده می‌شوند به عبارت دیگر در آمار بیزی یک پیش توزیع داریم-توزیع پیشین- و بعد از مطالعه دادهها و برای رسیدن به آن توزیع پیشین، توزیع پسین را در نظر می‌گیریم.
علم آماری
شامل برنامه‌ریزی و جمع‌بندی و تفسیر مشاهدات غیر قطعی است به‌شکلی که∗:
اعداد نمایندهٔ واقعی مشاهدات بوده، غیر واقعی یا غلط نباشند.
به‌نحو مفیدی تهیه و تنظیم شوند.
به‌نحو صحیح تحلیل شوند.
قابل نتیجه‌گیری صحیح باشند.
روشهای آماری
مطالعات تجربی و مشاهداتی هدف کلی برای یک پروژه تحقیقی آماری، بررسی حوادث اتفاقی بوده و به ویژه نتیجه گیری روی تأثیر تغییرات در ارزش شاخص‌ها یا متغیرهای غیر وابسته روی یک پاسخ یا متغیر وابسته‌است. دو شیوه اصلی از مطالعات آماری تصادفی وجود دارد: مطالعات تجربی و مطالعات مشاهداتی. در هر دو نوع از این مطالعات، اثر تغییرات در یک متغیر (یا متغیرهای) غیر وابسته روی رفتار متغیرهای وابسته مشاهده می‌شود. اختلاف بین این دو شیوه درچگونگی مطالعه‌ای است که عملاً هدایت می‌شود. یک مطالعه تجربی در بردارنده روشهای اندازه گیری سیستم تحت مطالعه‌است که سیستم را تغییر می‌دهد و سپس با استفاده از روش مشابه اندازه گیری‌های اضافی انجام می‌دهد تا مشخص سازد که آیا تغییرات انجام شده، مقادیر شاخص‌ها را تغییر می‌دهد یا خیر. در مقابل یک مطالعه نظری، مداخلات تجربی را در بر نمی‌گیرد. در عوض دادهها جمع آوری می‌شوند و روابط بین پیش بینی‌ها و جواب بررسی می‌شوند.
یک نمونه از مطالعه تجربی، مطالعات Hawthorne مشهور است که تلاش کرد تا تغییرات در محیط کار را در کمپانی الکتریک غربی Howthorne بیازماید. محققان علاقه مند بودند که آیا افزایش نور میتواند کارایی را در کارگران خط تولید افزایش دهد. محققان ابتدا کارایی را در کارخانه اندازه گیری کردند و سپس میزان نور را در یک قسمت از کارخانه تغییر دادند تا مشاهده کنند که آیا تغییر در نور میتواند کارایی را تغییر دهد. به واسطه خطا در اقدامات تجربی، به ویژه فقدان یک گروه کنترل محققاتی در حالی که قادر نبودند آنچه را که طراحی کرده بودند، انجام دهند قادر شدند تا محیط را با شیوه Hawthorne آماده سازند. یک نمونه از مطالعه مشاهداتی، مطالعه ایست که رابطه بین سیگار کشیدن و سرطان ریه را بررسی می‌کند. این نوع از مطالعه به طور اختصاصی از شیوه‌ای استفاده می‌کند تا مشاهدات مورد علاقه را جمع آوری کند و سپس تجزیه و تحلیل آماری انجام دهد. در این مورد، محققان مشاهدات افراد سیگاری و غیر سیگاری را جمع آوری می‌کنند و سپس به تعداد موارد سرطان ریه در هر دو گروه توجه می‌کنند.
احتمالات
در زبان محاوره، احتمال یکی از چندین واژه‌ای است که برای دانسته یا پیشامدهای غیر مطمئن به کار می‌رود و کم و بیش با واژه‌هایی مانند ریسک، خطرناک، نامطمئن، مشکوک و بسته به متن قابل معاوضه‌است. شانس، بخت، امتیاز و شرط بندی از لغات دیگری است که نشان دهنده برداشت‌های مشابهی است. همانگونه که نظریه مکانیک به تعاریف دقیق ریاضی از عبارات متداولی مثل کار و نیرو می‌پردازد، نظریه احتمالات نیز تلاش دارد تا مفاهیم و برداشت‌های مربوط به احتمالات را کمّی سازی کند.
نرم‌افزارها
آمار مدرن برای انجام بعضی از محاسبات خیلی پیچیده و بزرگ به وسیله رایانهها استفاده می‌شود. کل شاخه‌های آمار با استفاده از محاسبات کامپیوتری انجام‌پذیر شده‌اند، برای مثال شبکه‌های عصبی. انقلاب کامپیوتری با یک توجه نو به آمار «آزمایشی» و «شناختیک» رویکردهایی برای آینده آمار داشته‌است.
یکی از مهمترین کاربردهای آمار و احتمال با استفاده از رایانه شبیه سازی است.
شبیه سازی نسخه‌ای از بعضی وسایل حقیقی یا موقعیت‌های کاری است. شبیه سازی تلاش دارد تا بعضی جنبه‌های رفتاری یک سیستم فیزیکی یا انتزاعی را به وسیله رفتار سیستم دیگری نمایش دهد. شبیه سازی در بسیاری از متون شامل مدل سازی سیستم‌های طبیعی و سیتم‌های انسانی استفاده می‌شود. برای به دست آوردن بینش نسبت به کارکرد این سیستم‌ها در تکنولوژی و مهندسی ایمنی که هدف، آزمون بعضی سناریوهای عملی در دنیای واقعی است از شبیه سازی استفاده می‌شود. در شبیه سازی با استفاده از یک شبیه ساز یا وسیله دیگری در یک موقعیت ساختگی می‌توان آثار واقعی بعضی شرایط احتمالی را بازسازی کرد.
۱- شبیه سازی فیزیکی و متقابل (شبیه سازی فیزیکی، به شبیه سازی اطلاق می‌شود که در آن اشیای فیزیکی به جای شی واقعی جایگزین می‌شوند و این اجسام فیزیکی اغلب به این خاطر استفاده می‌شوند که کوچکتر و ارزان تر از شی یا سیستم حقیقی هستند. شبیه سازی متقابل (تعاملی) که شکل خاصی از شبیه سازی فیزیکی است و غالباً به انسان در شبیه سازی‌های حلقه‌ای اطلاق می‌شود یعنی شبیه سازی‌های فیزیکی که شامل انسان می‌شوند مثل مدل استفاده شده در شبیه ساز پرواز.)
۲- شبیه سازی در آموزش (شبیه سازی اغلب در آموزش پرسنل شهری و نظامی استفاده می‌شود. معمولاً هنگامی رخ می‌دهد که استفاده از تجهیزات در دنیای واقعی از لحاظ هزینه کمرشکن یا بسیار خطرناک است تا بتوان به کارآموزان اجازه استفاده از آنها را داده. در چنین موقعیت‌هایی کارآموزان وقت خود را با آموزش دروس ارزشمند در یک محیط واقعی «ایمن» می‌گذرانند. غالباً این اطمینان وجود دارد تا اجازه خطا را به کارآموزان در طی آموزش داد تا ارزیابی سیستم ایمنی– بحران صورت گیرد.)
شبیه سازی‌های آموزشی به طور خاص در یکی از چهار گروه زیر قرار می‌گیرند:
الف - شبیه سازی زنده (جایی که افراد واقعی از تجهیزات شبیه سازی شده (یا آدمک) در دنیای واقعی استفاده می‌کنند.)
ب - شبیه سازی مجازی (جایی که افراد واقعی از تجهیزات شبیه سازی شده در دنیای شبیه سازی شده (یا محیط واقعی) استفاده می‌کنند.) یا
ج - شبیه سازی ساختاری (جایی که افراد شبیه سازی شده از تجهیزات شبیه سازی شده در یک محیط شبیه سازی شده استفاده می‌کنند. اغلب به عنوان بازی جنگی نامیده می‌شود زیرا که شباهتهایی با بازیهای جنگی رومیزی دارد که در آنها بازیکنان، سربازان و تجهیزات را اطراف یک میز هدایت می‌کنند.)
د - شبیه سازی ایفای نقش (جایی که افراد واقعی نقش یک کار واقعی را بازی می‌کنند.)
۳ - شبیه سازی‌های پزشکی (شبیه سازهای پزشکی به طور فزاینده‌ای در حال توسعه و کاربرد هستند تا روشهای درمانی و تشخیص و همچنین اصول پزشکی و تصمیم گیری به پرسنل بهداشتی آموزش داده شود. طیف شبیه سازها برای آموزش روش‌ها از پایه مثل خونگیری تا جراحی لاپاراسکوپی و مراقبت از بیمار دچار ضربه، وسیع و گسترده‌است. بسیاری از شبیه سازهای پزشکی دارای یک رایانه هستند که به یک ماکت پلاستیکی با آناتومی مشابه واقعی متصل است. در بعضی از آنها، ترسیم‌های کامپیوتری تمام اجزای قابل رؤیت را به دست می‌دهد و با دستکاری در دستگاه می‌توان جنبه‌های شبیه سازی شده کار را تولید کرد. بعضی از این دستگاهها دارای شبیه سازهای گرافیکی رایانهای برای تصویربرداری هستند مانند پرتو ایکس یا سایر تصاویر پزشکی. بعضی از شبیه سازهای بیمار، دارای یک مانکن انسان نما هستند که به داروهای تزریق شده واکنش می‌دهد و می‌توان آن را برای خلق صحنه‌های مشابه فوریت‌های پزشکی خطرناک برنامه ریزی کرد. بعضی از شبیه سازهای پزشکی از طریق شبکه اینترنت قابل گسترش هستند و با استفاده از جستجوگرهای استاندارد شبکه به تغییرات جواب می‌دهند. در حال حاضر، شبیه سازی‌ها به موارد غربال گری پایه محدود شده‌اند به نحوی که استفاده کنندگان از طریق وسایل امتیازدهی استاندارد با شبیه سازی در ارتباط هستند.)
۴ - شبیه سازهای پرواز (یک شبیه ساز پرواز برای آموزش خلبانان روی زمین مورد استفاده قرار می‌گیرد. به خلبان اجازه داده می‌شود تا به هواپیمای شبیه سازی شده اش آسیب برساند بدون آن که خود دچار آسیب شود. شبیه سازهای پرواز اغلب برای آموزش خلبانان استفاه می‌شوند تا هواپیما را در موقعیت‌های بسیار خطرناک مثل زمین نشستن بدون داشتن موتور یا نقص کامل الکتریکی یا هیدرولیکی هدایت کنند. پیشرفته‌ترین شبیه سازها دارای سیستم بصری با کیفیت بالا و سیستم حرکت هیدرولیک هستند. کار با شبیه ساز به طور معمول نسبت به هواپیمای واقعی ارزان تر است.)
۵ - شبیه سازی و بازیها (هم چنین بسیاری از بازیهای ویدئویی شبیه ساز هستند که به طور ارزان تر آماده سازی شده‌اند. بعضی اوقات از این‌ها به عنوان بازیهای شبیه سازی (sim) نامبرده می‌شود. چنین بازیهایی جنبه‌های گوناگون واقعی را شبیه سازی می‌کنند از اقتصاد گرفته تا وسایل هوانوردی مثل شبیه سازهای پرواز.)
۶ - شبیه سازی مهندسی (شبیه سازی یک مشخصه مهم در سیستم‌های مهندسی است. برای مثال در مهندسی برق، از خطوط تأخیری استفاده می‌شود تا تأخیر تشدید شده و شیفت فاز ناشی از خط انتقال واقعی را شبیه سازی کنند. مشابهاً، از بارهای ظاهری می‌توان برای شبیه سازی مقاومت بدون شبیه سازی تشدید استفاده کرد و از این حالت در مواقعی استفاده می‌شود که تشدید ناخواسته باشد. یک شبیه ساز ممکن است تنها چند تا از کارکردهای واحد را شبیه سازی کند که در مقابل با عملی است که تقلید نامیده می‌شود.
۷ - اغلب شبیه سازی‌های مهندسی مستلزم مدل سازی ریاضی و بررسی‌های کامپیوتری هستند. به هر حال موارد زیادی وجود دارد که مدل سازی ریاضی قابل اعتماد نیست. شبیه سازی مشکلات مکانیک سیالات اغلب مستلزم شبیه سازی‌های ریاضی و فیزیکی است. در این موارد، مدل‌های فیزیکی نیاز به شبیه سازی دینامیک دارند.)
۸ - شبیه سازی کامپیوتری (شبیه سازی رایانه، جزو مفیدی برای بسیاری از سیستم‌های طبیعی در فیزیک، شیمی و زیست‌شناسی و نیز برای سیستم‌های انسانی در اقتصاد و علوم اجتماعی (جامعه‌شناسی کامپیوتری) و همچنین در مهندسی برای به دست آوردن بینش نسبت به عمل این سیستم‌ها شده‌است. یک نمونه خوب از سودمندی استفاده از رایانهها در شبیه سازی را می‌توان در حیطه شبیه سازی ترافیک شبکه جستجو کرد. در چنین شبیه سازی‌هایی رفتار مدل هر شبیه سازی را مطابق با مجموعه پارامترهای اولیه منظور شده برای محیط تغییر خواهد داد. شبیه سازی‌های کامپیوتری اغلب به این منظور به کار گرفته می‌شوند تا انسان از شبیه سازی‌های حلقه‌ای در امان باشد. به طور سنتی، مدل برداری رسمی سیستم‌ها از طریق یک مدل ریاضی بوده‌است به نحوی که تلاش در جهت یافتن راه حل تحلیلی برای مشکلات بوده‌است که پیش بینی رفتار سیستم را با استفاده از یک سری پارامترها و شرایط اولیه ممکن ساخته‌است. شبیه سازی کامپیوتری اغلب به عنوان یک ضمیمه یا جانشین برای سیستم‌های مدل سازی است که در آنها راه حل‌های تحلیلی بسته ساده ممکن نیست. انواع مختلفی از شبیه سازی کامپیوتری وجود دارد که وجه مشترک همه آنها در این است که تلاش می‌کند تا یک نمونه از برنامه‌ای برای یک مدل تولید کنند که در آن امکان محاسبه کامل تمام حالات ممکن مدل مشکل یا غیر ممکن است.)
به طور رو به افزونی معمول شده‌است که نام انواع مختلفی از شبیه سازی شنیده می‌شود که به عنوان «محیط‌های صناعی» اطلاق می‌شوند. این عنوان اتخاذ شده‌است تا تعریف شبیه سازی عملاً به تمام دستاوردهای حاصل از رایانه تعمیم داده شود.
۹ - شبیه سازی در علم رایانه (در برنامه نویسی کامپیوتری، یک شبیه ساز اغلب برای اجرای برنامه‌ای مورد استفاده قرار می‌گیرد که انجام آن برای رایانه با مقداری دشواری همراه است. برای مثال، شبیه سازها معمولاً برای رفع عیب یک ریزبرنامه استفاده می‌شوند. از آن جایی که کار کامپیوتر شبیه سازی شده‌است، تمام اطلاعات در مورد کار رایانه مستقیماً در دسترس برنامه دهنده‌است و سرعت و اجرای شبیه سازی را می‌توان تغییر داد. همچنین شبیه سازها برای تفسیر درخت‌های عیب یا تست کردن طراحی‌های منطقی VLSI قبل از ساخت مورد استفاده قرار می‌گیرند. در علم رایانه نظریه، عبارت شبیه سازی نشان دهنده یک رابطه بین سیستم‌های انتقال وضعیت است که این در مطالعه مفاهیم اجرایی سودمند است.)
۱۰ - شبیه سازی در تعلیم و تربیت (شبیه سازی‌ها در تعلیم و تربیت گاهی مثل شبیه سازی‌های آموزشی هستند. آنها روی وظایف خاص متمرکز می‌شوند. در گذشته از ویدئو برای معلمین و دانش آموزان استفاده می‌شود تا مشاهده کنند، مسائل را حل کنند و نقش بازی کنند؛ هرچند، یک استفاده جدید تر از شبیه سازی‌ها در تعلیم و تربیت شامل فیلم‌های انیمیشن است (ANV.(ANVها نوعی فیلم ویدئویی کارتون مانند با داستان‌های تخیلی یا واقعی هستند که برای آموزش و یادگیری کلاس استفاده می‌شوند.ANVها برای ارزیابی آگاهی، مهارت‌های حل مسئله و نظم بچه‌ها و معلمین قبل و حین اشتغال کارایی دارند.)
شکل دیگری از شبیه سازی در سال‌های اخیر با اقبال در آموزش بازرگانی مواجه شده‌است. شبیه سازی بازرگانی که دارای یک مدل پویا است که آزمون استراتژی‌های بازرگانی را در محیط فاقد خطر مهیا می‌سازد و محیط مساعدی برای مباحث مطالعه موارد ارائه می‌دهد.
واژگانی که درک مفهوم آنها در علم آمار مهم است عبارت‌اند از∗:
جمعیت
نمونه
متغیّر
مقیاس‌های اندازه‌گیری:
مقیاس اسمی (به انگلیسی: Nominal Scale)
مقیاس ترتیبی (به انگلیسی: Ordinal Scale)
مقیاس فاصله‌ای (به انگلیسی: Interval Scales)
مقیاس نسبی (به انگلیسی: Ratio Scales)
آمار رشته وسیعی از ریاضی است که راههای جمع آوری، خلاصه سازی و نتیجه گیری از دادهها را مطالعه می‌کند. این علم برای طیف وسیعی از علوم دانشگاهی از فیزیک و علوم اجتماعی گرفته تا انسان‌شناسی و همچنین تجارت، حکومت داری و صنعت کاربرد دارد.
هنگامی که دادهها جمع آوری شدند چه از طریق یک روش نمونه برداری خاص یا به وسیله ثبت پاسخ‌ها در قبال رفتارها در یک مجموعه آزمایشی (طرح آزمایش) یا به وسیله مشاهده مکرر یک فرایند در طی زمان (سری‌های زمانی) خلاصه‌های گرافیکی یا عددی را می‌توان با استفاده از آمار توصیفی به دست آورد.
الگوهای موجه در دادهها سازمان بندی می‌شوند تا نتیجه گیری در مورد جمعیت‌های بزرگتر به دست آید که این کار با استفاده از آمار استنباطی صورت می‌گیرد و تصادفی بودن و عدم قاطعیت در مشاهدات را شناسایی می‌کند. این استنباط‌ها ممکن است به شکل جوابهای بله یا خیر به سؤالات باشد (آزمون فرض)، خصوصیات عددی را برآورد کند (تخمین)، پیش گویی مشاهدات آتی باشد، توصیف ارتباط‌ها باشد (همبستگی) و یا مدل سازی روابط باشد (رگرسیون).
شبکه توصیف شده در بالا گاهی اوقات به عنوان آمار کاربردی اطلاق می‌شود. در مقابل، آمار ریاضی (یا ساده تر نظریه آماری) زیر رشته‌ای از ریاضی کاربردی است که از نظریه احتمال و آنالیز برای به کارگیری آمار برروی یک پایه نظریه محکم استفاده می‌کند.
مراحل پایه برای انجام یک تجربه عبارت‌اند از:
برنامه ریزی تحقیق شامل تعیین منابع اطلاعاتی، انتخاب موضوع تحقیق و ملاحظات اخلاقی برای تحقیق و روش پیشنهادی. طراحی آزمون شامل تمرکز روی مدل سیستم و تقابل متغیرهای مستقل و وابسته. خلاصه سازی از نتایج مشاهدات برای جامعیت بخشیدن به آنها با حذف نتایج (آمار توصیفی). رسیدن به اجماع در مورد آنچه مشاهدات درباره دنیایی که مشاهده می‌کنیم به ما می‌گویند (استنباط آماری). ثبت و ارائه نتایج مطالعه.
سطوح اندازه گیری
چهار نوع اندازه گیری یا مقیاس اندازه گیری در آمار استفاده می‌شود. چهار نوع یا سطح اندازه گیری (ترتیبی، اسمی، بازه‌ای و نسبی) دارای درجات متفاوتی از سودمندی در بررسی‌های آماری دارند. اندازه گیری نسبی در حالی که هم یک مقدار صفر و فاصله بین اندازه‌های متفاوت تعریف می‌شود بیشترین انعطاف پذیری را در بین روشهای آماری دارد که میتواند برای تحلیل دادهها استفاده شود. مقیاس تناوبی با داشتن فواصل معنی دار بین اندازه‌ها اما بدون داشتن میزان صفر معنی دار (مثل اندازه‌گیری بهره هوشی یا اندازه‌گیری دما در مقیاس سلسیوس) در تحقیقات آماری استفاده می‌شود. صفت آماری - هر ویژگی مربوط به هر واحد جامعه را یک صفت آماری یا به اختصار یک صفت برای آن واحد آماری است. اگر یک واحد آماری یک انسان باشد، گروه خون، وزن، میزان سواد، میزان درآمد، درجه حرارت بدن و تعدادخانوار هر کدام یک صفت آماری برای آن واحد است. صفتهای آماری دو دسته کلی هستند. ۱- صفت مشخصه ۲ صفت متغیر
میانه‌ها و شاخص‌های آماری
میانه‌ها وشاخص‌های آماری ترتیبی
iامین شاخص آمار ترتیبی یک مجموعه n عضوی، iامین عضو کوچک است. به عنوان مثال، مینیمم یک مجموعه از اعضا، اولین شاخص آمار ترتیبی (i=۱)است و ماکزیمم، nامین شاخص آمار ترتیبی (i=n)است. میانه، به طور غیر رسمی، نقطهٔ میانی مجموعه‌است. هنگامی که n فرد است، میانه منحصر به فرد است که در i=(n+۱)/۲ رخ می‌دهد. وقتی n زوج است، دو میانه وجود دارند که در i=n/۲ و i=n/۲+۱ رخ می‌دهند. انتخاب iامین شاخص آمار ترتیبی از یک مجموعه با n عضو مجزا را بیان می‌کند. مسئله انتخاب میتواند به طور رسمی به شکل زیر تعیین شود: ورودی: مجموعه A با n عدد(مجزا) و عدد i، که i بزرگتر یا مساوی ۱ و کوچکتر یا مساوی با n است. خروجی: عضو x در A که بزرگتر از دقیقا i-۱ عضو دیگر A می‌باشد. مسئله انتخاب میتواند در زمان (O(nlgn حل شود، چون می‌توانیم اعداد را با استفاده از مرتب سازی دودویی (heap sort) یا مرتب سازی ادغام مرتب کنیم و سپس به سادگی iامین عنصر در آرایه خروجی را مشخص کنیم اما الگوریتم‌های سریع تری وجود دارند. ابتدا مسئله انتخاب مینمم و ماکزیمم یک مجموعه از اعضا را بررسی می‌کنیم. مسئله جالب تر، مسئله انتخاب کلی است، که دردوقسمت بررسی می‌شود.قسمت اول یک الگوریتم عملی را تحلیل می‌کند که در حالت میانگین به زمان اجرای (O(n می‌رسد. قسمت بعد یک الگوریتم است که جنبه‌های نظری بیشتری داشته و در بدترین حالت به زمان اجرای (O(n می‌رسد.
مینیمم و ماکزیمم
چه تعداد مقایسه برای تعیین یک مجموعه n عضوی لازم است؟ می‌توانیم به سادگی به حد بالای n-۱ برای مقایسه‌ها برسیم: هر عضو مجموعه را به ترتیب بررسی کرده و کوچکترین عضوی که تا کنون دیده شده‌است را نگه می‌داریم. در روال زیر، فرض می‌کنیم مجموعه در آرایه A قرار دارد، که طول آرایه n است. قطعا یافتن ماکزیمم میتواند با n-۱ مقایسه نیز انجام شود. آیا این بهترین کاری است که می‌توانیم انجام دهیم؟ بله، چون می‌توانیم به حد پایین n-۱ برا مقایسه‌ها برای مینممم برسیم. الگوریتم را در نظر بگیرید که مینیمم را به صورت مسابقه‌ای بین عناصر تعیین می‌کند. هر مقایسه یک بازی در مسابقه‌است که در آن عنصر کوچکتر از میان دو عنصر، برنده می‌شود. نگرش اصلی این است که هر عنصر به جز برنده باید حداقل یک بازی را ببازد. از این رو n-۱ مقایسه برای تعیین مینیمم لازم است.
مینیمم و ماکزیمم هم زمان
در برخی کاربردها، باید هم مینیمم و هم ماکزیمم یک مجموعه از n عضو را پیدا کنیم. ارائه الگوریتمی که بتواند هم مینیمم و هم ماکزیمم n عضو را با استفاده از (θ(nمقایسه، که به طور مجانبی بهینه‌است، پیدا کند سخت نیست. به سادگی مینیمم و ماکزیمم را به طور مستقل، با استفاده از n-۱ مقایسه برای هر یک پیدا می‌کند، که در کل ۲n-۲ مقایسه انجام می‌دهد. در حقیقت، حداکثر ۳n/۲ مقایسه برای پیدا کردن مینیمم و ماکزیمم کافی است. استراتژی این است که اعضای مینیمم و ماکزیمم را که تا این جا دیده شده‌اند نگه داریم. به جای این که هر عضو ورودی را با مقایسه با مینیمم و ماکزیمم فعلی پردازش کنیم، که هزینه ۲ مقایسه برای هر عضو را صرف می‌کند، اعضا را جفت به جفت مقایسه می‌کنیم. ابتدا جفت عضوها را از ورودی با یکدیگر مقایسه می‌کنیم و سپس عضو کوچکتر را با مینیمم جاری و عضو بزرگتر را با ماکزیمم جاری مقایسه می‌کنیم که هزینه ۳ مقایسه برای هر دو عضو را موجب می‌شود.
انتخاب در زمان خطی مورد انتظار
مسئله انتخاب کلی نسبت به مسئله پیدا کردن یک مینیمم سخت تر به نظر می‌آیدو هم چنان که به صورت شگفت آوری زمان اجرای مجانبی هر دو مسئله یکی است: (θ(n.در این بخش یک الگوریتم تقسیم و حل را برای مسئله انتخاب ارائه می دهیم. الگوریتم Randomized-Select بعد از الگوریتم مرتب سازی سریع مدل می‌شود. همانند مرتب سازی سریع ایده آن است که آرایه ورودی را به طور بازگشتی تقسیم کنیم. ولی برخلاف مرتب سازی سریع که هر دو طرف تقسیم بندی را به صورت بازگشتی پردازش می‌کند، Randomized-Select فقط روی یک طرف تقسیم بندی عمل می‌کند. این تفاوت در تحلیل آشکار می‌شود. در حالی که زمان اجرای مورد انتظار مرتب سازی سریع (θ(nlgn است، زمان مورد انتظار این الگوریتم (θ(nاست. Randomized-Select از روال Randomized-Partition که در بخش مرتب سازی سریع معرفی شد استفاده می‌کند.
این الگوریتم iامین عنصر کوچک آرایه Ap..r را برمی گرداند. بعد از این که Randomized-Partition در خط 3 الگوریتم اجرا می‌شود، آرایهAp..r به دو زیر آرایه (شاید خالی)Ap..q-1و Aq+1..rتقسیم می‌شود. به طوری که هر عنصرAp..q-1 کوچک تر یا مساوی با Aqاست که Aqنیز به نوبهٔ خود کوچک تر از هر عنصری ازAq+1..r می‌باشد. همانند مرتب سازی سریع، به Aq به عنوان عنصر محوری(pivot)اشاره می کنیم. خط 4 از Randomized-Select تعداد k عناصر در زیر آرایه Ap..q-1را محاسبه می‌کند، به عبارت دیگر تعداد عناصر در طرف کم تر تقسیم بندی، به علاوه 1 برای عنصر محوری. سپس خط 5 چک می‌کندکه آیi Aq امین عنصر کوچک هست یا نه.اگر باشد آن گاهAq برگردانده می‌شود. در غیر این صورت، الگوریتم تعیین می‌کند که iامین عنصر کوچک در کدام یک از دو زیر آریه قرار دارد. زمان اجرای Randomized-Select در بدترین حالت (θ(n^2است. اگر چه الگوریتم به خوبی در حالت میانگین کار می‌کند و چون تصادفی است، هیچ ورودی خاصی باعث رفتار بدترین حالت نمی‌شود.
انتخاب در بدترین حالت زمان خطی
اکنون الگوریتمی را بررسی می کنیم که زمان اجرای آن در بدترین حالت (O(nاست. مانند Randomized-Select، الگوریتم Select عنصر مورد نظر را با تقسیم بندی بازگشتی آرایه ورودی پیدا می‌کند. اما ایده‌ای که پشت این الگوریتم وجود دارد، این است که یک قسمت خوب را در هنگامی که آرایه تقسیم می‌شود تضمین می‌کند. Select از الگوریتم تقسیم بندی قطعی Partition مربوط به مرتب سازی سریع استفاده می‌کند که طوری تغییر یافته است که عنصری که تقسیم بندی حول آن انجام می‌شود را به عنوان پارامتر ورودی بگیرد. این الگوریتم iامین عنصر کوچک از آرایه ورودی با n>1 عنصر را با اجرای مراحل زیر تعیین می‌کند.(اگر n=1باشد آن گاه Select به طور مطلق، تنها ورودیش را به عنوان iامین عنصر کوچک برمی گرداند.)
n عنصرآرایه ورودی را بهn/5 گروه 5 عنصری تقسیم کنید و حداکثر یک گروه از n mod 5 عنصر باقیمانده ساخته می‌شود.
میانه هر یک از n/5گروه را ابتدا با مرتب ساز درجی عناصر هر گروه (که حداکثر 5 عنصر در هر یک وجود دارد)و سپس انتخاب میانه از لیست مرتب شده عناصر گروه پیدا کنید.
از Select به صورت بازگشتی برای پیدا کردن میانه x از n/5میانه‌ای که در مرحله 2 پیدا شدند استفاده کنید.
آرایه ورودی را حول میانهٔ میانه‌ها (یعنی x)با استفاده از نسخه تغییر یافته Partition تقسیم کنید. فرض کنید k یک واحد بیشتر از تعداد عناصر در طرف کم تر تقسیم بندی باشد، بنابراین k، x امین عنصر کوچک است و n-k عنصر در طرف بیشتر تقسیم بندی موجود است.
اگر i=k باشد، x را برگردانید در غیر این صورت اگر i<k باشد از Select به صورت بازگشتی برای پیدا کردن iامین عنصر کوچک در طرف کم تر استفاده کرده یا اگر i>k باشد، از آن برای پیدا کردن (i-k)امین عنصر کوچک در طرف بیشتر استفاده کنید.
برای تحلیل زمان اجرای Select، ابتدا یک حد پایین روی تعداد عناصر بزرگتر از عنصر تقسیم کنندهٔ x تعیین می کنیم. حداقل نصفی از میانه‌های پیدا شده در مرحله 2 بزرگتر از x یعنی میانهٔ میانه‌ها هستند. بنابراین در حداقل نصف n/5گروه، 3 عنصر وجود دارند که از x بزرگترند، به جز برای گروهی که اگر5 به n قابل قسمت نباشد، کم تر از 5 عنصر دارد و گروهی که خود شامل x است. با منظور نکردن این دو گروه ثابت می‌شود که تعداد عناصر بزرگتر از x حداقل برابر است با
3(2-1/2n/5)
که این عبارت بزرگتر یا مساوی با 3n/10-6 است. به طور مشابه عناصری که کوچک تر از x هستند حداقل 3n/10-6 است. بنابراین در بدترین حالت، Select برای حداکثر 7n/10+6 عنصر در مرحلهٔ 5 به طور بازگشتی فراخوانی می‌شود.
آزمون فرض آماری
آزمون فرض آماری (به انگلیسی: Statistical hypothesis testing) در علم آمار روشی است برای بررسی ادعاها یا فرض‌ها دربارهٔ پارامترهای توزیع در جوامع آماری. در این روش فرض صفر (به انگلیسی: Null-hypothesis) یا فرض اولیه مورد بررسی ست که متناسب با موضوع مطالعه فرضی به عنوان فرض بدیل یا فرض مقابل (به انگلیسی: Alternative-hypothesis) انتخاب می‌شود تا درستی هر کدام نسبت به هم مورد آزمون قرار گیرد.
آمار پارامتری
آمار پارامتری به مجموعه روشهای آماری‌ای گفته می‌شود که مدل‌ای پارامتری برای پدیدهٔ احتمالی مورد مطالعه فرض می‌شود و همهٔ استنتاج‌های آماری از آن پس بر اساس آن مدل انجام می‌شود.
به عنوان مثال فرض می‌شود که توزیع نمره‌های یک امتحان از توزیع نرمال پیروی می‌کند. در نتیجه برای مشخص‌شدن توزیع احتمال، کافی است میانگین و واریانس توزیع را از روی دادههای تجربی (نمره‌های دانش‌آموزان) به دست بیاوریم. حال برای پاسخ‌گفتن به سوال‌هایی چون «درصد دانش‌آموزانی که نمره‌ای بین ۱۰ تا ۱۵ آورده‌اند» از تابع توزیع به دست آمده استفاده می‌کنیم (البته بدیهی است که روشهای ساده‌تری نیز برای چنین کاری وجود دارد).
نقطهٔ ضعف این شیوهٔ تحلیل آماری این است که در صورتی که مدل فرض‌شده با واقعیت تطبیق نداشته باشد، نتیجه‌گیری‌ها صحیح نخواهد بود.
آماره
آماره در آمار به عددی گویند که یک توزیع نمونه‌برداری را خلاصه‌سازی یا توصیف می‌کند.
تابع U=g(X۱, X۲, …, Xn) از نمونهٔ تصادفی X۱, X۲, …, Xn را که در آن پارامتر مجهولی وجود نداشته باشد یک آماره می‌گویند. در این تعریف U یک متغیر تصادفی است که توزیع آن ممکن است به پارامتر بستگی نداشته باشد؛ اما تنها آماره‌هایی برای برآورد کردن مفید هستند که توزیعشان به پارامتر مجهول بستگی داشته باشد و اطلاعاتی در مورد این پارامتر به ما بدهند.
آنتروپی آماری
انتروپی آماری یک کمیت ترمودینامیکی است که در شیمی‌فیزیک کاربردهای فراوان دارد.
استنباط آماری
چنانچه به جای مطالعه کل اعضای جامعه، بخشی از آن با استفاده از فنون نمونه‌گیری انتخاب شده، و مورد مطالعه قرار گیرد و بخواهیم نتایج حاصل از آن را به کل جامعه تعمیم دهیم از روشهایی استفاده می‌شود که موضوع آمار استنباطی (Inferential statistics) است. آن چه که مهم است این است که در گذر از آمار توصیفی به آمار استنباطی یا به عبارت دیگر از نمونه به جامعه بحث و نقش احتمال شروع می‌شود. در واقع احتمال، پل رابط بین آمار توصیفی و استنباطی به حساب می‌آید.
چولگی
در آمار و نظریه احتمالات چولگی نشان دهنده میزان عدم تقارن توزیع احتمالی است. اگر دادهها نسبت به میانگین متقارن باشند، چولگی برابر صفر خواهد بود.
تعریف
چولگی برابر با گشتاور سوم نرمال شده است. چولگی در حقیقت معیاری از وجود یا عدم تقارن تابع توزیع می باشد. برای یک توزیع کاملاً متقارن چولگی صفر و برای یک توزیع نامتقارن با کشیدگی به سمت مقادیر بالاتر چولگی مثبت و برای توزیع نامتقارن با کشیدگی به سمت مقادیر کوچکتر مقدار چولگی منفی است.
داده
به طور کلی، می‌توان همهٔ دانسته‌ها، آگاهی‌ها، داشته‌ها، آمارها، شناسه‌ها، پیشینه‌ها و پنداشته‌ها را داده یا دیتا (به انگلیسی: Data) نامید. انسان برای ثبت و درک مشترک هر واقعیت و پدیده از نشانه‌های ویژهٔ آن بهره گرفته‌است.
انسان برای نمایاندن دادهها نخست از نگاره و در ادامهٔ سیر تکاملی آن از حروف، شماره‌ها و نشانه‌ها کمک گرفت. برای بازنمودن دادهها از این موارد کمکی یا ترکیبی از آنها استفاده می‌شود
در رایانه
به اعداد، حروف و علائم که جهت درک و فهم مشترک از انسان‌ها یا رایانه سرچشمه می‌گیرند داده می‌گویند. دادهها معمولاً از سوی انسان‌ها بصورت حروف، اعداد، علائم و در رایانه به صورت نمادهایی (همان رمزهای صفر و یک) قراردادی ارائه می‌شوند. اصطلاح داده یک عبارت نسبی است یعنی اگر موجب درک و فهم لازم و کامل دراین مرحله شده‌است به عنوان آگاهی یا اطلاعات از آن نام می‌برند و چنانچه موجب درک و فهم کامل نگردد به عنوان همان داده به شمار می‌آیند و چون هدف نهایی آگاهی و اطلاعات است باید از سوی دست‌اندرکاران (انسان یا رایانه) دستکاری یا پردازش شوند. منظور از دستکاری یا پردازش دادهها انجام عملیاتی از قبیل جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، مقایسه وغیره‌است.
دادهها مجموعه‌ای از نمادها (برای انسان حروف، اعداد، علائم و برای رایانه رمزهای صفر و یک) هستند که حقایق را نشان می‌دهند و برای انسان از طریق رسانه‌های وی (بینایی، شنوایی، چشایی، بویایی، بساوایی) و برای رایانه از طریق لوازم ویژه (صفحه کلید موس و غیره) به دست می‌آیند.
دادهها امروزه فقط از سوی انسان یا رایانه پردازش می‌شوند یعنی کارهایی روی آنها صورت می‌گیرد. در پردازش دادهها (داده‌پردازی) در رایانه ابتدا دادهها به رایانه وارد می‌شوند. این دادهها درابتدا ذخیره شده و روی آنها عملیاتی (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و...) صورت می‌گیرد. پس از این که این عملیات (پردازش) صورت گرفت معمولاً دادهها به یک رایانه دیگر یا دوباره به انسان‌ها منتقل می‌شود. در اغلب گزارش‌ها و یادداشت‌های سازمانی، دادهها به چشم می‌خورند. برای نمونه، تاریخ و مقدار یک صورت‌حساب یا چک، جزئیات فهرست حقوق، تعداد وسایل نقلیه‌ای که از نقطهٔ خاصی در کنار جاده گذشته‌اند،... نمونه‌هایی از دادهها هستند.
انواع دادهها از نظر ساخت‌یافتگی
دادههای ساخت‌یافته
دادههای نیمه‌ساخت‌یافته
دادههای زمانی
در بسیاری از کاربردهای مبتنی بر دادهها و اطلاعات ذخیره‌سازی و بازیافت حالا ت و وضعیت‌های سیستم در طی زمان اهمیت می‌یابد.
دادههای مکانی
دادههای مکانی (geospatial data ) به مجموعه‌ای از دادهها گفته می‌شود که بیان کننده موقعیت جغرافیایی یک عارضه(طبیعی یا مصنوعی) بر روی زمین باشند. دادههای مکانی معمولاً به صورت موقعیت و یا روابط هندسی ذخیره شده و قابل نمایش در نقشه‌ها می‌باشند. دادهها مکانی بیشتر در سامانه‌های اطلاعات مکانی نگهداری شده، قابل دسترسی و پردازش می‌باشند.
پردازش رایانهای دادهها
پردازش رایانهای دادهها هر فرایندی است که از برنامه‌ای رایانهای برای واردسازی دادهها، خلاصه‌بندی، تحلیل و در غیر اینصورت تبدیل‌داده به اطلاعات قابل استفاده استفاده می‌کند.
علوم و فناوری پردازش دادهها دارای وسعت، گوناگونی، و پیچیدگی فراوانی بوده، و این زمینه از دانش به شاخه‌ها و زیر شاخه‌های متعددی تقسیم می‌شود، که برخی از آنها عبارت است از:
پردازش علائم
پردازش علائم (سیگنال‌ها) را باید یکی از شاخه‌های وسیع و پر کاربرد در پردازش دادهها به حساب آورد.
آمار (به انگلیسی: statistics) به مجموعه‌ی دادههای عددی مربوط به یک موضوع (معمولا مهم)، مانند جمعیت، متوفیات، میزان تجارت داخلی یا خارجی، دما یا بارش ماهیانه و غیر گفته می‌شود. آمار را باید علم و عمل استخراج، بسط، و توسعهٔ دانشهای تجربی انسانی با استفاده از روشهای گردآوری، تنظیم، پرورش، و تحلیل دادههای تجربی (حاصل از اندازه گیری و آزمایش) دانست.
زمینه‌های محاسباتی و رایانهای جدیدتری همچون یادگیری ماشینی، و کاوش‌های ماشینی در دادهها، در واقع، امتداد و گسترش دانش گسترده و کهن از آمار به عهد محاسبات نو و دوران اعمال شیوه‌های ماشینی در همه‌جا می‌باشد. علم آمار، علم فن فراهم کردن دادههای کمّی و تحلیل آنها به منظور به دست آورن نتیایجی که اگرچه احتمالی است، اما در خور اعتماد است.
در صورتی که شاخه‌ای علمی مد نظر نباشد، معنای آن، داده‌هایی به‌شکل ارقام و اعداد واقعی یا تقریبی است که با استفاده از علم آمار می‌توان با آنها رفتار کرد و عملیات ذکر شده در بالا را بر آنها انجام داد. بیشتر مردم با کلمة آمار به مفهومی که برای ثبت و نمایش اطلاعات عددی به کار می‌رود آشنا هستند. ولی این مفهوم منطبق با موضوع اصلی مورد بحث آمار نیست. آمار عمدتاً با وضعیتهایی سر و کار دارد که در آنها وقوع یک پیشامد به طور حتمی قابل پیش بینی نیست. اسنتاجهای آماری غالباً غیر حتمی اند، زیرا مبتنی بر اطلاعات ناکاملی هستند. در طول چندین دهه آمار فقط با بیان اطلاعات و مقادیر عددی در باره اقتصاد، جمعیت‌شناسی و اوضاع سیاسی حاکم در یک کشور سر و کار داشت. حتی امروز بسیاری از نشریات و گزارشهای دولتی که توده‌ای از آمار و ارقام را در بردارند معنی اولیه کلمه آمار را در ذهن زنده می‌کنند. اکثر افراد معمولی هنوز این تصویر غلط را در باره آمار دارند که آن را منحصر به ستونهای عددی سرگیجه آور و گاهی یک سری شکلهای مبهوت کننده می‌دانند. بنابراین، یادآوری این نکته ضروری است که نظریه و روشهای جدید آماری از حد ساختن جدولهای اعداد و نمودارها بسیار فراتر رفته‌اند. آمار به عنوان یک موضوع علمی، امروزه شامل مفاهیم و روشهایی است که در تمام پژوهشهایی که مستلزم جمع آوری دادهها به وسیله یک فرایند آزمایش و مشاهده و انجام استنباط و نتیجه گیری به وسیله تجزیه و تحلیل این دادهها هستند اهمیت بسیار دارند.
علم آمار
علم آمار، خود مبتنی است بر نظریه آمار که شاخه‌ای از ریاضیات کاربردی به حساب می‌آید. در نظریهٔ آمار، اتفاقات تصادفی و عدم قطعیت توسط نظریهٔ احتمالات مدل‌سازی می‌شوند. در این علم، مطالعه و قضاوت معقول در بارهٔ موضوع‌های گوناگون، بر مبنای یک جمع انجام می‌شود و قضاوت در مورد یک فرد خاص، اصلاً مطرح نیست.
از جملهٔ مهمترین اهداف آمار، می‌توان تولید «بهترین» اطّلاعات از دادههای موجود و سپس استخراج دانش از آن اطّلاعات را ذکر کرد. به همین سبب است که برخی از منابع، آمار را شاخه‌ای از نظریه تصمیم‌ها به شمار می‌آورند.
این علم به بخش‌های آمار توصیفی و آمار استنباطی تقسیم می‌شود. از طرف دیگر می‌توان آن را به دو بخش آمار کلاسیک و آمار بیز تقسیم بندی کرد. در آمار کلاسیک، که امروزه در دانشگاه‌ها و دبیرستان‌ها تدریس می‌گردد، ابتدا آزمایش و نتیجه را داریم و بعد بر اساس آنها فرض‌ها را آزمون می‌کنیم. به عبارت دیگر ابتدا آزمایش انجام می‌شود و بعد فرض آزمون می‌گردد. در آمار بیزی ابتدا فرض در نظر گرفته می‌شود و دادهها با آن مطابقت داده می‌شوند به عبارت دیگر در آمار بیزی یک پیش توزیع داریم-توزیع پیشین- و بعد از مطالعه دادهها و برای رسیدن به آن توزیع پیشین، توزیع پسین را در نظر می‌گیریم.
علم آماری
شامل برنامه‌ریزی و جمع‌بندی و تفسیر مشاهدات غیر قطعی است به‌شکلی که∗:
اعداد نمایندهٔ واقعی مشاهدات بوده، غیر واقعی یا غلط نباشند.
به‌نحو مفیدی تهیه و تنظیم شوند.
به‌نحو صحیح تحلیل شوند.
قابل نتیجه‌گیری صحیح باشند.
روشهای آماری
مطالعات تجربی و مشاهداتی هدف کلی برای یک پروژه تحقیقی آماری، بررسی حوادث اتفاقی بوده و به ویژه نتیجه گیری روی تأثیر تغییرات در ارزش شاخص‌ها یا متغیرهای غیر وابسته روی یک پاسخ یا متغیر وابسته‌است. دو شیوه اصلی از مطالعات آماری تصادفی وجود دارد: مطالعات تجربی و مطالعات مشاهداتی. در هر دو نوع از این مطالعات، اثر تغییرات در یک متغیر (یا متغیرهای) غیر وابسته روی رفتار متغیرهای وابسته مشاهده می‌شود. اختلاف بین این دو شیوه درچگونگی مطالعه‌ای است که عملاً هدایت می‌شود. یک مطالعه تجربی در بردارنده روشهای اندازه گیری سیستم تحت مطالعه‌است که سیستم را تغییر می‌دهد و سپس با استفاده از روش مشابه اندازه گیری‌های اضافی انجام می‌دهد تا مشخص سازد که آیا تغییرات انجام شده، مقادیر شاخص‌ها را تغییر می‌دهد یا خیر. در مقابل یک مطالعه نظری، مداخلات تجربی را در بر نمی‌گیرد. در عوض دادهها جمع آوری می‌شوند و روابط بین پیش بینی‌ها و جواب بررسی می‌شوند.
یک نمونه از مطالعه تجربی، مطالعات Hawthorne مشهور است که تلاش کرد تا تغییرات در محیط کار را در کمپانی الکتریک غربی Howthorne بیازماید. محققان علاقه مند بودند که آیا افزایش نور میتواند کارایی را در کارگران خط تولید افزایش دهد. محققان ابتدا کارایی را در کارخانه اندازه گیری کردند و سپس میزان نور را در یک قسمت از کارخانه تغییر دادند تا مشاهده کنند که آیا تغییر در نور میتواند کارایی را تغییر دهد. به واسطه خطا در اقدامات تجربی، به ویژه فقدان یک گروه کنترل محققاتی در حالی که قادر نبودند آنچه را که طراحی کرده بودند، انجام دهند قادر شدند تا محیط را با شیوه Hawthorne آماده سازند. یک نمونه از مطالعه مشاهداتی، مطالعه ایست که رابطه بین سیگار کشیدن و سرطان ریه را بررسی می‌کند. این نوع از مطالعه به طور اختصاصی از شیوه‌ای استفاده می‌کند تا مشاهدات مورد علاقه را جمع آوری کند و سپس تجزیه و تحلیل آماری انجام دهد. در این مورد، محققان مشاهدات افراد سیگاری و غیر سیگاری را جمع آوری می‌کنند و سپس به تعداد موارد سرطان ریه در هر دو گروه توجه می‌کنند.
احتمالات
در زبان محاوره، احتمال یکی از چندین واژه‌ای است که برای دانسته یا پیشامدهای غیر مطمئن به کار می‌رود و کم و بیش با واژه‌هایی مانند ریسک، خطرناک، نامطمئن، مشکوک و بسته به متن قابل معاوضه‌است. شانس، بخت، امتیاز و شرط بندی از لغات دیگری است که نشان دهنده برداشت‌های مشابهی است. همانگونه که نظریه مکانیک به تعاریف دقیق ریاضی از عبارات متداولی مثل کار و نیرو می‌پردازد، نظریه احتمالات نیز تلاش دارد تا مفاهیم و برداشت‌های مربوط به احتمالات را کمّی سازی کند.
نرم‌افزارها
آمار مدرن برای انجام بعضی از محاسبات خیلی پیچیده و بزرگ به وسیله رایانهها استفاده می‌شود. کل شاخه‌های آمار با استفاده از محاسبات کامپیوتری انجام‌پذیر شده‌اند، برای مثال شبکه‌های عصبی. انقلاب کامپیوتری با یک توجه نو به آمار «آزمایشی» و «شناختیک» رویکردهایی برای آینده آمار داشته‌است.
یکی از مهمترین کاربردهای آمار و احتمال با استفاده از رایانه شبیه سازی است.
شبیه سازی نسخه‌ای از بعضی وسایل حقیقی یا موقعیت‌های کاری است. شبیه سازی تلاش دارد تا بعضی جنبه‌های رفتاری یک سیستم فیزیکی یا انتزاعی را به وسیله رفتار سیستم دیگری نمایش دهد. شبیه سازی در بسیاری از متون شامل مدل سازی سیستم‌های طبیعی و سیتم‌های انسانی استفاده می‌شود. برای به دست آوردن بینش نسبت به کارکرد این سیستم‌ها در تکنولوژی و مهندسی ایمنی که هدف، آزمون بعضی سناریوهای عملی در دنیای واقعی است از شبیه سازی استفاده می‌شود. در شبیه سازی با استفاده از یک شبیه ساز یا وسیله دیگری در یک موقعیت ساختگی می‌توان آثار واقعی بعضی شرایط احتمالی را بازسازی کرد.
۱- شبیه سازی فیزیکی و متقابل (شبیه سازی فیزیکی، به شبیه سازی اطلاق می‌شود که در آن اشیای فیزیکی به جای شی واقعی جایگزین می‌شوند و این اجسام فیزیکی اغلب به این خاطر استفاده می‌شوند که کوچکتر و ارزان تر از شی یا سیستم حقیقی هستند. شبیه سازی متقابل (تعاملی) که شکل خاصی از شبیه سازی فیزیکی است و غالباً به انسان در شبیه سازی‌های حلقه‌ای اطلاق می‌شود یعنی شبیه سازی‌های فیزیکی که شامل انسان می‌شوند مثل مدل استفاده شده در شبیه ساز پرواز.)
۲- شبیه سازی در آموزش (شبیه سازی اغلب در آموزش پرسنل شهری و نظامی استفاده می‌شود. معمولاً هنگامی رخ می‌دهد که استفاده از تجهیزات در دنیای واقعی از لحاظ هزینه کمرشکن یا بسیار خطرناک است تا بتوان به کارآموزان اجازه استفاده از آنها را داده. در چنین موقعیت‌هایی کارآموزان وقت خود را با آموزش دروس ارزشمند در یک محیط واقعی «ایمن» می‌گذرانند. غالباً این اطمینان وجود دارد تا اجازه خطا را به کارآموزان در طی آموزش داد تا ارزیابی سیستم ایمنی– بحران صورت گیرد.)
شبیه سازی‌های آموزشی به طور خاص در یکی از چهار گروه زیر قرار می‌گیرند:
الف - شبیه سازی زنده (جایی که افراد واقعی از تجهیزات شبیه سازی شده (یا آدمک) در دنیای واقعی استفاده می‌کنند.)
ب - شبیه سازی مجازی (جایی که افراد واقعی از تجهیزات شبیه سازی شده در دنیای شبیه سازی شده (یا محیط واقعی) استفاده می‌کنند.) یا
ج - شبیه سازی ساختاری (جایی که افراد شبیه سازی شده از تجهیزات شبیه سازی شده در یک محیط شبیه سازی شده استفاده می‌کنند. اغلب به عنوان بازی جنگی نامیده می‌شود زیرا که شباهتهایی با بازیهای جنگی رومیزی دارد که در آنها بازیکنان، سربازان و تجهیزات را اطراف یک میز هدایت می‌کنند.)
د - شبیه سازی ایفای نقش (جایی که افراد واقعی نقش یک کار واقعی را بازی می‌کنند.)
۳ - شبیه سازی‌های پزشکی (شبیه سازهای پزشکی به طور فزاینده‌ای در حال توسعه و کاربرد هستند تا روشهای درمانی و تشخیص و همچنین اصول پزشکی و تصمیم گیری به پرسنل بهداشتی آموزش داده شود. طیف شبیه سازها برای آموزش روش‌ها از پایه مثل خونگیری تا جراحی لاپاراسکوپی و مراقبت از بیمار دچار ضربه، وسیع و گسترده‌است. بسیاری از شبیه سازهای پزشکی دارای یک رایانه هستند که به یک ماکت پلاستیکی با آناتومی مشابه واقعی متصل است. در بعضی از آنها، ترسیم‌های کامپیوتری تمام اجزای قابل رؤیت را به دست می‌دهد و با دستکاری در دستگاه می‌توان جنبه‌های شبیه سازی شده کار را تولید کرد. بعضی از این دستگاهها دارای شبیه سازهای گرافیکی رایانهای برای تصویربرداری هستند مانند پرتو ایکس یا سایر تصاویر پزشکی. بعضی از شبیه سازهای بیمار، دارای یک مانکن انسان نما هستند که به داروهای تزریق شده واکنش می‌دهد و می‌توان آن را برای خلق صحنه‌های مشابه فوریت‌های پزشکی خطرناک برنامه ریزی کرد. بعضی از شبیه سازهای پزشکی از طریق شبکه اینترنت قابل گسترش هستند و با استفاده از جستجوگرهای استاندارد شبکه به تغییرات جواب می‌دهند. در حال حاضر، شبیه سازی‌ها به موارد غربال گری پایه محدود شده‌اند به نحوی که استفاده کنندگان از طریق وسایل امتیازدهی استاندارد با شبیه سازی در ارتباط هستند.)
۴ - شبیه سازهای پرواز (یک شبیه ساز پرواز برای آموزش خلبانان روی زمین مورد استفاده قرار می‌گیرد. به خلبان اجازه داده می‌شود تا به هواپیمای شبیه سازی شده اش آسیب برساند بدون آن که خود دچار آسیب شود. شبیه سازهای پرواز اغلب برای آموزش خلبانان استفاه می‌شوند تا هواپیما را در موقعیت‌های بسیار خطرناک مثل زمین نشستن بدون داشتن موتور یا نقص کامل الکتریکی یا هیدرولیکی هدایت کنند. پیشرفته‌ترین شبیه سازها دارای سیستم بصری با کیفیت بالا و سیستم حرکت هیدرولیک هستند. کار با شبیه ساز به طور معمول نسبت به هواپیمای واقعی ارزان تر است.)
۵ - شبیه سازی و بازیها (هم چنین بسیاری از بازیهای ویدئویی شبیه ساز هستند که به طور ارزان تر آماده سازی شده‌اند. بعضی اوقات از این‌ها به عنوان بازیهای شبیه سازی (sim) نامبرده می‌شود. چنین بازیهایی جنبه‌های گوناگون واقعی را شبیه سازی می‌کنند از اقتصاد گرفته تا وسایل هوانوردی مثل شبیه سازهای پرواز.)
۶ - شبیه سازی مهندسی (شبیه سازی یک مشخصه مهم در سیستم‌های مهندسی است. برای مثال در مهندسی برق، از خطوط تأخیری استفاده می‌شود تا تأخیر تشدید شده و شیفت فاز ناشی از خط انتقال واقعی را شبیه سازی کنند. مشابهاً، از بارهای ظاهری می‌توان برای شبیه سازی مقاومت بدون شبیه سازی تشدید استفاده کرد و از این حالت در مواقعی استفاده می‌شود که تشدید ناخواسته باشد. یک شبیه ساز ممکن است تنها چند تا از کارکردهای واحد را شبیه سازی کند که در مقابل با عملی است که تقلید نامیده می‌شود.
۷ - اغلب شبیه سازی‌های مهندسی مستلزم مدل سازی ریاضی و بررسی‌های کامپیوتری هستند. به هر حال موارد زیادی وجود دارد که مدل سازی ریاضی قابل اعتماد نیست. شبیه سازی مشکلات مکانیک سیالات اغلب مستلزم شبیه سازی‌های ریاضی و فیزیکی است. در این موارد، مدل‌های فیزیکی نیاز به شبیه سازی دینامیک دارند.)
۸ - شبیه سازی کامپیوتری (شبیه سازی رایانه، جزو مفیدی برای بسیاری از سیستم‌های طبیعی در فیزیک، شیمی و زیست‌شناسی و نیز برای سیستم‌های انسانی در اقتصاد و علوم اجتماعی (جامعه‌شناسی کامپیوتری) و همچنین در مهندسی برای به دست آوردن بینش نسبت به عمل این سیستم‌ها شده‌است. یک نمونه خوب از سودمندی استفاده از رایانهها در شبیه سازی را می‌توان در حیطه شبیه سازی ترافیک شبکه جستجو کرد. در چنین شبیه سازی‌هایی رفتار مدل هر شبیه سازی را مطابق با مجموعه پارامترهای اولیه منظور شده برای محیط تغییر خواهد داد. شبیه سازی‌های کامپیوتری اغلب به این منظور به کار گرفته می‌شوند تا انسان از شبیه سازی‌های حلقه‌ای در امان باشد. به طور سنتی، مدل برداری رسمی سیستم‌ها از طریق یک مدل ریاضی بوده‌است به نحوی که تلاش در جهت یافتن راه حل تحلیلی برای مشکلات بوده‌است که پیش بینی رفتار سیستم را با استفاده از یک سری پارامترها و شرایط اولیه ممکن ساخته‌است. شبیه سازی کامپیوتری اغلب به عنوان یک ضمیمه یا جانشین برای سیستم‌های مدل سازی است که در آنها راه حل‌های تحلیلی بسته ساده ممکن نیست. انواع مختلفی از شبیه سازی کامپیوتری وجود دارد که وجه مشترک همه آنها در این است که تلاش می‌کند تا یک نمونه از برنامه‌ای برای یک مدل تولید کنند که در آن امکان محاسبه کامل تمام حالات ممکن مدل مشکل یا غیر ممکن است.)
به طور رو به افزونی معمول شده‌است که نام انواع مختلفی از شبیه سازی شنیده می‌شود که به عنوان «محیط‌های صناعی» اطلاق می‌شوند. این عنوان اتخاذ شده‌است تا تعریف شبیه سازی عملاً به تمام دستاوردهای حاصل از رایانه تعمیم داده شود.
۹ - شبیه سازی در علم رایانه (در برنامه نویسی کامپیوتری، یک شبیه ساز اغلب برای اجرای برنامه‌ای مورد استفاده قرار می‌گیرد که انجام آن برای رایانه با مقداری دشواری همراه است. برای مثال، شبیه سازها معمولاً برای رفع عیب یک ریزبرنامه استفاده می‌شوند. از آن جایی که کار کامپیوتر شبیه سازی شده‌است، تمام اطلاعات در مورد کار رایانه مستقیماً در دسترس برنامه دهنده‌است و سرعت و اجرای شبیه سازی را می‌توان تغییر داد. همچنین شبیه سازها برای تفسیر درخت‌های عیب یا تست کردن طراحی‌های منطقی VLSI قبل از ساخت مورد استفاده قرار می‌گیرند. در علم رایانه نظریه، عبارت شبیه سازی نشان دهنده یک رابطه بین سیستم‌های انتقال وضعیت است که این در مطالعه مفاهیم اجرایی سودمند است.)
۱۰ - شبیه سازی در تعلیم و تربیت (شبیه سازی‌ها در تعلیم و تربیت گاهی مثل شبیه سازی‌های آموزشی هستند. آنها روی وظایف خاص متمرکز می‌شوند. در گذشته از ویدئو برای معلمین و دانش آموزان استفاده می‌شود تا مشاهده کنند، مسائل را حل کنند و نقش بازی کنند؛ هرچند، یک استفاده جدید تر از شبیه سازی‌ها در تعلیم و تربیت شامل فیلم‌های انیمیشن است (ANV.(ANVها نوعی فیلم ویدئویی کارتون مانند با داستان‌های تخیلی یا واقعی هستند که برای آموزش و یادگیری کلاس استفاده می‌شوند.ANVها برای ارزیابی آگاهی، مهارت‌های حل مسئله و نظم بچه‌ها و معلمین قبل و حین اشتغال کارایی دارند.)
شکل دیگری از شبیه سازی در سال‌های اخیر با اقبال در آموزش بازرگانی مواجه شده‌است. شبیه سازی بازرگانی که دارای یک مدل پویا است که آزمون استراتژی‌های بازرگانی را در محیط فاقد خطر مهیا می‌سازد و محیط مساعدی برای مباحث مطالعه موارد ارائه می‌دهد.
واژگانی که درک مفهوم آنها در علم آمار مهم است عبارت‌اند از∗:
جمعیت
نمونه
متغیّر
مقیاس‌های اندازه‌گیری:
مقیاس اسمی (به انگلیسی: Nominal Scale)
مقیاس ترتیبی (به انگلیسی: Ordinal Scale)
مقیاس فاصله‌ای (به انگلیسی: Interval Scales)
مقیاس نسبی (به انگلیسی: Ratio Scales)
آمار رشته وسیعی از ریاضی است که راههای جمع آوری، خلاصه سازی و نتیجه گیری از دادهها را مطالعه می‌کند. این علم برای طیف وسیعی از علوم دانشگاهی از فیزیک و علوم اجتماعی گرفته تا انسان‌شناسی و همچنین تجارت، حکومت داری و صنعت کاربرد دارد.
هنگامی که دادهها جمع آوری شدند چه از طریق یک روش نمونه برداری خاص یا به وسیله ثبت پاسخ‌ها در قبال رفتارها در یک مجموعه آزمایشی (طرح آزمایش) یا به وسیله مشاهده مکرر یک فرایند در طی زمان (سری‌های زمانی) خلاصه‌های گرافیکی یا عددی را می‌توان با استفاده از آمار توصیفی به دست آورد.
الگوهای موجه در دادهها سازمان بندی می‌شوند تا نتیجه گیری در مورد جمعیت‌های بزرگتر به دست آید که این کار با استفاده از آمار استنباطی صورت می‌گیرد و تصادفی بودن و عدم قاطعیت در مشاهدات را شناسایی می‌کند. این استنباط‌ها ممکن است به شکل جوابهای بله یا خیر به سؤالات باشد (آزمون فرض)، خصوصیات عددی را برآورد کند (تخمین)، پیش گویی مشاهدات آتی باشد، توصیف ارتباط‌ها باشد (همبستگی) و یا مدل سازی روابط باشد (رگرسیون).
شبکه توصیف شده در بالا گاهی اوقات به عنوان آمار کاربردی اطلاق می‌شود. در مقابل، آمار ریاضی (یا ساده تر نظریه آماری) زیر رشته‌ای از ریاضی کاربردی است که از نظریه احتمال و آنالیز برای به کارگیری آمار برروی یک پایه نظریه محکم استفاده می‌کند.
مراحل پایه برای انجام یک تجربه عبارت‌اند از:
برنامه ریزی تحقیق شامل تعیین منابع اطلاعاتی، انتخاب موضوع تحقیق و ملاحظات اخلاقی برای تحقیق و روش پیشنهادی. طراحی آزمون شامل تمرکز روی مدل سیستم و تقابل متغیرهای مستقل و وابسته. خلاصه سازی از نتایج مشاهدات برای جامعیت بخشیدن به آنها با حذف نتایج (آمار توصیفی). رسیدن به اجماع در مورد آنچه مشاهدات درباره دنیایی که مشاهده می‌کنیم به ما می‌گویند (استنباط آماری). ثبت و ارائه نتایج مطالعه.
سطوح اندازه گیری
چهار نوع اندازه گیری یا مقیاس اندازه گیری در آمار استفاده می‌شود. چهار نوع یا سطح اندازه گیری (ترتیبی، اسمی، بازه‌ای و نسبی) دارای درجات متفاوتی از سودمندی در بررسی‌های آماری دارند. اندازه گیری نسبی در حالی که هم یک مقدار صفر و فاصله بین اندازه‌های متفاوت تعریف می‌شود بیشترین انعطاف پذیری را در بین روشهای آماری دارد که میتواند برای تحلیل دادهها استفاده شود. مقیاس تناوبی با داشتن فواصل معنی دار بین اندازه‌ها اما بدون داشتن میزان صفر معنی دار (مثل اندازه‌گیری بهره هوشی یا اندازه‌گیری دما در مقیاس سلسیوس) در تحقیقات آماری استفاده می‌شود. صفت آماری - هر ویژگی مربوط به هر واحد جامعه را یک صفت آماری یا به اختصار یک صفت برای آن واحد آماری است. اگر یک واحد آماری یک انسان باشد، گروه خون، وزن، میزان سواد، میزان درآمد، درجه حرارت بدن و تعدادخانوار هر کدام یک صفت آماری برای آن واحد است. صفتهای آماری دو دسته کلی هستند. ۱- صفت مشخصه ۲ صفت متغیر
میانه‌ها و شاخص‌های آماری
میانه‌ها وشاخص‌های آماری ترتیبی
iامین شاخص آمار ترتیبی یک مجموعه n عضوی، iامین عضو کوچک است. به عنوان مثال، مینیمم یک مجموعه از اعضا، اولین شاخص آمار ترتیبی (i=۱)است و ماکزیمم، nامین شاخص آمار ترتیبی (i=n)است. میانه، به طور غیر رسمی، نقطهٔ میانی مجموعه‌است. هنگامی که n فرد است، میانه منحصر به فرد است که در i=(n+۱)/۲ رخ می‌دهد. وقتی n زوج است، دو میانه وجود دارند که در i=n/۲ و i=n/۲+۱ رخ می‌دهند. انتخاب iامین شاخص آمار ترتیبی از یک مجموعه با n عضو مجزا را بیان می‌کند. مسئله انتخاب میتواند به طور رسمی به شکل زیر تعیین شود: ورودی: مجموعه A با n عدد(مجزا) و عدد i، که i بزرگتر یا مساوی ۱ و کوچکتر یا مساوی با n است. خروجی: عضو x در A که بزرگتر از دقیقا i-۱ عضو دیگر A می‌باشد. مسئله انتخاب میتواند در زمان (O(nlgn حل شود، چون می‌توانیم اعداد را با استفاده از مرتب سازی دودویی (heap sort) یا مرتب سازی ادغام مرتب کنیم و سپس به سادگی iامین عنصر در آرایه خروجی را مشخص کنیم اما الگوریتم‌های سریع تری وجود دارند. ابتدا مسئله انتخاب مینمم و ماکزیمم یک مجموعه از اعضا را بررسی می‌کنیم. مسئله جالب تر، مسئله انتخاب کلی است، که دردوقسمت بررسی می‌شود.قسمت اول یک الگوریتم عملی را تحلیل می‌کند که در حالت میانگین به زمان اجرای (O(n می‌رسد. قسمت بعد یک الگوریتم است که جنبه‌های نظری بیشتری داشته و در بدترین حالت به زمان اجرای (O(n می‌رسد.
مینیمم و ماکزیمم
چه تعداد مقایسه برای تعیین یک مجموعه n عضوی لازم است؟ می‌توانیم به سادگی به حد بالای n-۱ برای مقایسه‌ها برسیم: هر عضو مجموعه را به ترتیب بررسی کرده و کوچکترین عضوی که تا کنون دیده شده‌است را نگه می‌داریم. در روال زیر، فرض می‌کنیم مجموعه در آرایه A قرار دارد، که طول آرایه n است. قطعا یافتن ماکزیمم میتواند با n-۱ مقایسه نیز انجام شود. آیا این بهترین کاری است که می‌توانیم انجام دهیم؟ بله، چون می‌توانیم به حد پایین n-۱ برا مقایسه‌ها برای مینممم برسیم. الگوریتم را در نظر بگیرید که مینیمم را به صورت مسابقه‌ای بین عناصر تعیین می‌کند. هر مقایسه یک بازی در مسابقه‌است که در آن عنصر کوچکتر از میان دو عنصر، برنده می‌شود. نگرش اصلی این است که هر عنصر به جز برنده باید حداقل یک بازی را ببازد. از این رو n-۱ مقایسه برای تعیین مینیمم لازم است.
مینیمم و ماکزیمم هم زمان
در برخی کاربردها، باید هم مینیمم و هم ماکزیمم یک مجموعه از n عضو را پیدا کنیم. ارائه الگوریتمی که بتواند هم مینیمم و هم ماکزیمم n عضو را با استفاده از (θ(nمقایسه، که به طور مجانبی بهینه‌است، پیدا کند سخت نیست. به سادگی مینیمم و ماکزیمم را به طور مستقل، با استفاده از n-۱ مقایسه برای هر یک پیدا می‌کند، که در کل ۲n-۲ مقایسه انجام می‌دهد. در حقیقت، حداکثر ۳n/۲ مقایسه برای پیدا کردن مینیمم و ماکزیمم کافی است. استراتژی این است که اعضای مینیمم و ماکزیمم را که تا این جا دیده شده‌اند نگه داریم. به جای این که هر عضو ورودی را با مقایسه با مینیمم و ماکزیمم فعلی پردازش کنیم، که هزینه ۲ مقایسه برای هر عضو را صرف می‌کند، اعضا را جفت به جفت مقایسه می‌کنیم. ابتدا جفت عضوها را از ورودی با یکدیگر مقایسه می‌کنیم و سپس عضو کوچکتر را با مینیمم جاری و عضو بزرگتر را با ماکزیمم جاری مقایسه می‌کنیم که هزینه ۳ مقایسه برای هر دو عضو را موجب می‌شود.
انتخاب در زمان خطی مورد انتظار
مسئله انتخاب کلی نسبت به مسئله پیدا کردن یک مینیمم سخت تر به نظر می‌آیدو هم چنان که به صورت شگفت آوری زمان اجرای مجانبی هر دو مسئله یکی است: (θ(n.در این بخش یک الگوریتم تقسیم و حل را برای مسئله انتخاب ارائه می دهیم. الگوریتم Randomized-Select بعد از الگوریتم مرتب سازی سریع مدل می‌شود. همانند مرتب سازی سریع ایده آن است که آرایه ورودی را به طور بازگشتی تقسیم کنیم. ولی برخلاف مرتب سازی سریع که هر دو طرف تقسیم بندی را به صورت بازگشتی پردازش می‌کند، Randomized-Select فقط روی یک طرف تقسیم بندی عمل می‌کند. این تفاوت در تحلیل آشکار می‌شود. در حالی که زمان اجرای مورد انتظار مرتب سازی سریع (θ(nlgn است، زمان مورد انتظار این الگوریتم (θ(nاست. Randomized-Select از روال Randomized-Partition که در بخش مرتب سازی سریع معرفی شد استفاده می‌کند.
این الگوریتم iامین عنصر کوچک آرایه Ap..r را برمی گرداند. بعد از این که Randomized-Partition در خط 3 الگوریتم اجرا می‌شود، آرایهAp..r به دو زیر آرایه (شاید خالی)Ap..q-1و Aq+1..rتقسیم می‌شود. به طوری که هر عنصرAp..q-1 کوچک تر یا مساوی با Aqاست که Aqنیز به نوبهٔ خود کوچک تر از هر عنصری ازAq+1..r می‌باشد. همانند مرتب سازی سریع، به Aq به عنوان عنصر محوری(pivot)اشاره می کنیم. خط 4 از Randomized-Select تعداد k عناصر در زیر آرایه Ap..q-1را محاسبه می‌کند، به عبارت دیگر تعداد عناصر در طرف کم تر تقسیم بندی، به علاوه 1 برای عنصر محوری. سپس خط 5 چک می‌کندکه آیi Aq امین عنصر کوچک هست یا نه.اگر باشد آن گاهAq برگردانده می‌شود. در غیر این صورت، الگوریتم تعیین می‌کند که iامین عنصر کوچک در کدام یک از دو زیر آریه قرار دارد. زمان اجرای Randomized-Select در بدترین حالت (θ(n^2است. اگر چه الگوریتم به خوبی در حالت میانگین کار می‌کند و چون تصادفی است، هیچ ورودی خاصی باعث رفتار بدترین حالت نمی‌شود.
انتخاب در بدترین حالت زمان خطی
اکنون الگوریتمی را بررسی می کنیم که زمان اجرای آن در بدترین حالت (O(nاست. مانند Randomized-Select، الگوریتم Select عنصر مورد نظر را با تقسیم بندی بازگشتی آرایه ورودی پیدا می‌کند. اما ایده‌ای که پشت این الگوریتم وجود دارد، این است که یک قسمت خوب را در هنگامی که آرایه تقسیم می‌شود تضمین می‌کند. Select از الگوریتم تقسیم بندی قطعی Partition مربوط به مرتب سازی سریع استفاده می‌کند که طوری تغییر یافته است که عنصری که تقسیم بندی حول آن انجام می‌شود را به عنوان پارامتر ورودی بگیرد. این الگوریتم iامین عنصر کوچک از آرایه ورودی با n>1 عنصر را با اجرای مراحل زیر تعیین می‌کند.(اگر n=1باشد آن گاه Select به طور مطلق، تنها ورودیش را به عنوان iامین عنصر کوچک برمی گرداند.)
n عنصرآرایه ورودی را بهn/5 گروه 5 عنصری تقسیم کنید و حداکثر یک گروه از n mod 5 عنصر باقیمانده ساخته می‌شود.
میانه هر یک از n/5گروه را ابتدا با مرتب ساز درجی عناصر هر گروه (که حداکثر 5 عنصر در هر یک وجود دارد)و سپس انتخاب میانه از لیست مرتب شده عناصر گروه پیدا کنید.
از Select به صورت بازگشتی برای پیدا کردن میانه x از n/5میانه‌ای که در مرحله 2 پیدا شدند استفاده کنید.
آرایه ورودی را حول میانهٔ میانه‌ها (یعنی x)با استفاده از نسخه تغییر یافته Partition تقسیم کنید. فرض کنید k یک واحد بیشتر از تعداد عناصر در طرف کم تر تقسیم بندی باشد، بنابراین k، x امین عنصر کوچک است و n-k عنصر در طرف بیشتر تقسیم بندی موجود است.
اگر i=k باشد، x را برگردانید در غیر این صورت اگر i<k باشد از Select به صورت بازگشتی برای پیدا کردن iامین عنصر کوچک در طرف کم تر استفاده کرده یا اگر i>k باشد، از آن برای پیدا کردن (i-k)امین عنصر کوچک در طرف بیشتر استفاده کنید.
برای تحلیل زمان اجرای Select، ابتدا یک حد پایین روی تعداد عناصر بزرگتر از عنصر تقسیم کنندهٔ x تعیین می کنیم. حداقل نصفی از میانه‌های پیدا شده در مرحله 2 بزرگتر از x یعنی میانهٔ میانه‌ها هستند. بنابراین در حداقل نصف n/5گروه، 3 عنصر وجود دارند که از x بزرگترند، به جز برای گروهی که اگر5 به n قابل قسمت نباشد، کم تر از 5 عنصر دارد و گروهی که خود شامل x است. با منظور نکردن این دو گروه ثابت می‌شود که تعداد عناصر بزرگتر از x حداقل برابر است با
3(2-1/2n/5)
که این عبارت بزرگتر یا مساوی با 3n/10-6 است. به طور مشابه عناصری که کوچک تر از x هستند حداقل 3n/10-6 است. بنابراین در بدترین حالت، Select برای حداکثر 7n/10+6 عنصر در مرحلهٔ 5 به طور بازگشتی فراخوانی می‌شود.
آزمون فرض آماری
آزمون فرض آماری (به انگلیسی: Statistical hypothesis testing) در علم آمار روشی است برای بررسی ادعاها یا فرض‌ها دربارهٔ پارامترهای توزیع در جوامع آماری. در این روش فرض صفر (به انگلیسی: Null-hypothesis) یا فرض اولیه مورد بررسی ست که متناسب با موضوع مطالعه فرضی به عنوان فرض بدیل یا فرض مقابل (به انگلیسی: Alternative-hypothesis) انتخاب می‌شود تا درستی هر کدام نسبت به هم مورد آزمون قرار گیرد.
آمار پارامتری
آمار پارامتری به مجموعه روشهای آماری‌ای گفته می‌شود که مدل‌ای پارامتری برای پدیدهٔ احتمالی مورد مطالعه فرض می‌شود و همهٔ استنتاج‌های آماری از آن پس بر اساس آن مدل انجام می‌شود.
به عنوان مثال فرض می‌شود که توزیع نمره‌های یک امتحان از توزیع نرمال پیروی می‌کند. در نتیجه برای مشخص‌شدن توزیع احتمال، کافی است میانگین و واریانس توزیع را از روی دادههای تجربی (نمره‌های دانش‌آموزان) به دست بیاوریم. حال برای پاسخ‌گفتن به سوال‌هایی چون «درصد دانش‌آموزانی که نمره‌ای بین ۱۰ تا ۱۵ آورده‌اند» از تابع توزیع به دست آمده استفاده می‌کنیم (البته بدیهی است که روشهای ساده‌تری نیز برای چنین کاری وجود دارد).
نقطهٔ ضعف این شیوهٔ تحلیل آماری این است که در صورتی که مدل فرض‌شده با واقعیت تطبیق نداشته باشد، نتیجه‌گیری‌ها صحیح نخواهد بود.
آماره
آماره در آمار به عددی گویند که یک توزیع نمونه‌برداری را خلاصه‌سازی یا توصیف می‌کند.
تابع U=g(X۱, X۲, …, Xn) از نمونهٔ تصادفی X۱, X۲, …, Xn را که در آن پارامتر مجهولی وجود نداشته باشد یک آماره می‌گویند. در این تعریف U یک متغیر تصادفی است که توزیع آن ممکن است به پارامتر بستگی نداشته باشد؛ اما تنها آماره‌هایی برای برآورد کردن مفید هستند که توزیعشان به پارامتر مجهول بستگی داشته باشد و اطلاعاتی در مورد این پارامتر به ما بدهند.
آنتروپی آماری
انتروپی آماری یک کمیت ترمودینامیکی است که در شیمی‌فیزیک کاربردهای فراوان دارد.
استنباط آماری
چنانچه به جای مطالعه کل اعضای جامعه، بخشی از آن با استفاده از فنون نمونه‌گیری انتخاب شده، و مورد مطالعه قرار گیرد و بخواهیم نتایج حاصل از آن را به کل جامعه تعمیم دهیم از روشهایی استفاده می‌شود که موضوع آمار استنباطی (Inferential statistics) است. آن چه که مهم است این است که در گذر از آمار توصیفی به آمار استنباطی یا به عبارت دیگر از نمونه به جامعه بحث و نقش احتمال شروع می‌شود. در واقع احتمال، پل رابط بین آمار توصیفی و استنباطی به حساب می‌آید.
چولگی
در آمار و نظریه احتمالات چولگی نشان دهنده میزان عدم تقارن توزیع احتمالی است. اگر دادهها نسبت به میانگین متقارن باشند، چولگی برابر صفر خواهد بود.
تعریف
چولگی برابر با گشتاور سوم نرمال شده است. چولگی در حقیقت معیاری از وجود یا عدم تقارن تابع توزیع می باشد. برای یک توزیع کاملاً متقارن چولگی صفر و برای یک توزیع نامتقارن با کشیدگی به سمت مقادیر بالاتر چولگی مثبت و برای توزیع نامتقارن با کشیدگی به سمت مقادیر کوچکتر مقدار چولگی منفی است.
داده
به طور کلی، می‌توان همهٔ دانسته‌ها، آگاهی‌ها، داشته‌ها، آمارها، شناسه‌ها، پیشینه‌ها و پنداشته‌ها را داده یا دیتا (به انگلیسی: Data) نامید. انسان برای ثبت و درک مشترک هر واقعیت و پدیده از نشانه‌های ویژهٔ آن بهره گرفته‌است.
انسان برای نمایاندن دادهها نخست از نگاره و در ادامهٔ سیر تکاملی آن از حروف، شماره‌ها و نشانه‌ها کمک گرفت. برای بازنمودن دادهها از این موارد کمکی یا ترکیبی از آنها استفاده می‌شود
در رایانه
به اعداد، حروف و علائم که جهت درک و فهم مشترک از انسان‌ها یا رایانه سرچشمه می‌گیرند داده می‌گویند. دادهها معمولاً از سوی انسان‌ها بصورت حروف، اعداد، علائم و در رایانه به صورت نمادهایی (همان رمزهای صفر و یک) قراردادی ارائه می‌شوند. اصطلاح داده یک عبارت نسبی است یعنی اگر موجب درک و فهم لازم و کامل دراین مرحله شده‌است به عنوان آگاهی یا اطلاعات از آن نام می‌برند و چنانچه موجب درک و فهم کامل نگردد به عنوان همان داده به شمار می‌آیند و چون هدف نهایی آگاهی و اطلاعات است باید از سوی دست‌اندرکاران (انسان یا رایانه) دستکاری یا پردازش شوند. منظور از دستکاری یا پردازش دادهها انجام عملیاتی از قبیل جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، مقایسه وغیره‌است.
دادهها مجموعه‌ای از نمادها (برای انسان حروف، اعداد، علائم و برای رایانه رمزهای صفر و یک) هستند که حقایق را نشان می‌دهند و برای انسان از طریق رسانه‌های وی (بینایی، شنوایی، چشایی، بویایی، بساوایی) و برای رایانه از طریق لوازم ویژه (صفحه کلید موس و غیره) به دست می‌آیند.
دادهها امروزه فقط از سوی انسان یا رایانه پردازش می‌شوند یعنی کارهایی روی آنها صورت می‌گیرد. در پردازش دادهها (داده‌پردازی) در رایانه ابتدا دادهها به رایانه وارد می‌شوند. این دادهها درابتدا ذخیره شده و روی آنها عملیاتی (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و...) صورت می‌گیرد. پس از این که این عملیات (پردازش) صورت گرفت معمولاً دادهها به یک رایانه دیگر یا دوباره به انسان‌ها منتقل می‌شود. در اغلب گزارش‌ها و یادداشت‌های سازمانی، دادهها به چشم می‌خورند. برای نمونه، تاریخ و مقدار یک صورت‌حساب یا چک، جزئیات فهرست حقوق، تعداد وسایل نقلیه‌ای که از نقطهٔ خاصی در کنار جاده گذشته‌اند،... نمونه‌هایی از دادهها هستند.
انواع دادهها از نظر ساخت‌یافتگی
دادههای ساخت‌یافته
دادههای نیمه‌ساخت‌یافته
دادههای زمانی
در بسیاری از کاربردهای مبتنی بر دادهها و اطلاعات ذخیره‌سازی و بازیافت حالا ت و وضعیت‌های سیستم در طی زمان اهمیت می‌یابد.
دادههای مکانی
دادههای مکانی (geospatial data ) به مجموعه‌ای از دادهها گفته می‌شود که بیان کننده موقعیت جغرافیایی یک عارضه(طبیعی یا مصنوعی) بر روی زمین باشند. دادههای مکانی معمولاً به صورت موقعیت و یا روابط هندسی ذخیره شده و قابل نمایش در نقشه‌ها می‌باشند. دادهها مکانی بیشتر در سامانه‌های اطلاعات مکانی نگهداری شده، قابل دسترسی و پردازش می‌باشند.
پردازش رایانهای دادهها
پردازش رایانهای دادهها هر فرایندی است که از برنامه‌ای رایانهای برای واردسازی دادهها، خلاصه‌بندی، تحلیل و در غیر اینصورت تبدیل‌داده به اطلاعات قابل استفاده استفاده می‌کند.
علوم و فناوری پردازش دادهها دارای وسعت، گوناگونی، و پیچیدگی فراوانی بوده، و این زمینه از دانش به شاخه‌ها و زیر شاخه‌های متعددی تقسیم می‌شود، که برخی از آنها عبارت است از:
پردازش علائم
پردازش علائم (سیگنال‌ها) را باید یکی از شاخه‌های وسیع و پر کاربرد در پردازش دادهها به حساب آورد.
پول الکترونیکی
در سال‌های اخیر، مصرف کنندگان تمایل چشمگیری برای انجام مبادلات الکترونیکی از خود نشان داده‌اند. کاهش هزینه و افزایش سرعت دسترسی به اینترنت و مزایای اقتصادی و اجتماعی تجارت الکترونیکی از دلایل اصلی توجه مردم به اینگونه مبادلات است. تجارت الکترونیک واژه‌ای است که برای تجارت از طریق سیستم‌های اطلاعاتی- ارتباطی بکار می‌رود. در این گزارش مقدمه‌ای در مورد تجارت الکترونیکی آورده شده‌است که هدف از آن، آشنایی با ابعاد و زیرساخت‌های تجارت الکترونیکی و تبیین نقش و جایگاه انتقال الکترونیکی وجوه و بانکداری الکترونیکی در آن می‌باشد. سپس توضیحاتی در رابطه با بانکداری الکترونیکی، پرداخت الکترونیکی، مزایا و معایب آنها ذکر شده‌است. در ادامه پول الکترونیکی که یکی از مهمترین زیر سیستم‌های پرداخت الکترونیکی است معرفی می‌گردد و مزایا و معایب آن بررسی می‌شود. در واقع پول الکترونیکی یک مکانیسم پرداخت ارزش ذخیره شده یا پیش پرداخت شده‌است که در آن مقداری از وجوه یا ارزش که برای مصرف کننده قابل استفاده‌است، در یک وسیله و قطعهٔ الکترونیکی ذخیره شده و در تصرف مشتری است.
بانکداری الکترونیکی
بانکداری الکترونیک (ای-بانک) را می‌توان استفاده از تکنولوژی پیشرفته شبکه‌ها و مخابرات، جهت انتقال منبع (پول) در سیستم بانکداری معرفی کرد. در تعریفی دیگر، بانکداری الکترونیکی عبارت از ارائه کلیه خدمات بانکی به صورت الکترونیک و از طریق واسطه‌های ایمن و بدون نیاز به حضور فیزیکی مشتری است. در کشورهای پیشرفته دنیا مذاکرات بین خریدار و فروشنده، سفارش خرید، تهیه بیمه نامه، انتقال پول، حمل و نقل کالا و ترخیص از گمرکات به صورت الکترونیکی پشتیبانی می‌شود و روشهای نقل و انتقال پول به صورت الکترونیکی و حمل و نقل کالا بر اساس در خواست‌های الکترونیکی است که در این راستا بانکداری الکترونیکی از ارکان اصلی و لازمه تحقق این امر می‌باشد.
پرداخت الکترونیکی
زمان شروع پرداخت الکترونیکی را می‌توان سال ۱۹۱۸ دانست، یعنی هنگامی که بانکهای فدرال رزرو آمریکا به انتقال وجوه از طریق تلگراف می‌پرداختند. پرداخت الکترونیکی اشکال گوناگونی دارد که می‌توان آن را به دو دستهٔ اصلی تقسیم کرد:
سیستم‌های پرداخت برای معاملات عمده فروشی
سیستم‌های پرداخت برای معاملات خرده فروشی
در چنین مکانیسم‌هایی پرداخت به صورت برخط نیز وجود دارد و از طریق بررسی و کنترل زاویای مختلف سیستم، اعمال می‌شود. تعدادی از ابداعات در محدودهٔ پرداخت‌های الکترونیکی جزیی (خرده فروشی) به عنوان پول الکترونیکی شناخته شده‌اند. این ابداعات که در حال حاضر نیز در مرحلهٔ اول توسعه و پیشرفت قرار دارند، بالقوه دارای این قدرت هستند که قواعد حاکم بر پول نقد را در مورد پرداخت‌های خرده فروشی به چالش کشیده و در عین حال می‌توانند معاملات خرده فروشی را هم برای مصرف کننده و هم برای تجار، ساده تر و ارزانتر گردانند. در این زمینه ادعا شده‌است که پول الکترونیکی مفهومی جدید از کیف پول را ارایه نموده، سیستم پرداخت تجاری را برای اینترنت به وجود آورده و راه دولت‌ها را برای پرداخت به صورت الکترونیکی، تغییر داده و انقلابی را در گردش ارزش (پول) از طریق خطوط تلفن و امواج (الکترونیکی) پدید آورده‌است.
ویژگی‌های سیستم‌های پرداخت الکترونیکی
امنیت: ایمن ساختن اطلاعات به معنای جلوگیری از تحریف و دستیابی به اطلاعات توسط افراد غیر مجاز
تقسیم پذیری: بیشتر فروشندگان تنها کارتهای اعتباری را برای دامنه‌ای حداقل و حداکثر قبول می‌کنند بنابراین هرچه دامنه قبول پرداختها را زیادتر کند امکان پذیرش بیشتری دارد
قابلیت بررسی: سیستم باید تمام عملیات مالی را ثبت کند تا در صورت لزوم بتوان اشکالات و خطاهای احتمالی را ردیابی کرد
قابلیت اطمینان: سیستم باید بقدر کافی مستحکم باشد تا کاربران در صورت قطع برق پولها را از دست ندهند.
گمنامی: این مطلب با حریم خصوصی ارتباط دارد یعنی برخی خریداران تمایل دارند هویت و مشخصات خرید هایشان گمنام باقی بماند
عدم تکذیب : یک سیستم پرداخت اینترنتی باید گروههای درگیر را مطمئن و متعهد سازد که گروهی نتواند معاملات را انکار کرده و یا بطور غیر قانونی از زیر آن شانه خالی کند.
پول الکترونیکی
امروزه این مسئله پذیرفته شده‌است که بانکداری الکترونیکی میتواند به دو جریان مجزا تقسیم شود : یکی عبارت است از محصولات پول الکترونیکی، به ویژه در شکل محصولاتی که ارزش را ذخیره می‌کنند و دیگری عبارت است از تحویل یا دسترسی الکترونیکی به محصولات. این‌ها محصولاتی هستند که به مصرف کننده این امکان را می‌دهند تا از وسایل ارتباطی الکترونیکی استفاده کرده و به این ترتیب به خدمات پرداخت قراردادی دسترسی داشته باشند. به عنوان مثال: استفاده از یک کامپیوتر شخصی و یا شبکهٔ کامپیوتری (نظیر اینترنت) برای پرداخت کارت الکترونیکی یا ارسال دستوری برای انتقال وجوه بین حسابهای بانکی. از آنجایی‌که پول الکترونیکی همچنان در مراحل اولیهٔ پیشرفت است، هنوز تعریف واحدی از پول الکترونیکی وجود ندارد و اشخاص مختلفی پول الکترونیکی را به روشهای متفاوتی تعریف کرده و توضیح داده‌اند.
جامعهٔ اروپا در پیش نویس دستورالعمل خود، پول الکترونیکی را بدین‌گونه توصیف نموده است:
بر روی قطعه‌ای الکترونیکی همانند تراشهٔ کارت و یا حافظه‌کامپیوتر به صورت الکترونیکی ذخیره شده .
به عنوان یک وسیلهٔ پرداخت برای تعهدات اشخاصی غیر از مؤسسهٔ صادر کننده، پذیرفته شده‌است.
بدین منظور ایجاد شده‌است که به عنوان جانشین الکترونیکی برای سکه و اسکناس در دسترس و اختیار استفاده کنندگان قرار گیرد.
به منظور انتقال الکترونیکی وجوه و پرداخت‌های با مقدار محدود ایجاد شده‌است.
مشاور امور مصرف کنندگان آمریکا، پول الکترونیکی را به این عنوان توصیف نموده‌است : پولی است که به صورت الکترونیکی حرکت کرده و به گردش درمی آید و میتواند به صورت کارت هوشمند و یا کارت‌هایی که در آنها ارزش ذخیره شده، یا کیف پول الکترونیکی ارایه شود. همچنین میتواند در پایانهٔ فروش استفاده شده و یا بدون دخالت هیچ شخص دیگری و مستقیماً به صورت شخص به شخص مورد استفاده قرار گیرد و نیز میتواند از طریق خطوط تلفن به سوی بانکها و یا دیگر ارائه دهندگان خدمات یا صادرکنندگان (پول الکترونیکی) به حرکت درآمده و یا خرج شود.
ویژگی‌های پول الکترونیکی
ارزش بر روی قطعه و یا وسیلهٔ الکترونیکی و به صورت الکترونیکی ذخیره می‌شود. محصولات گوناگون از لحاظ اجرای تکنیکی متفاوت هستند. در پول الکترونیکی مبتنی بر کارت، یک قطعهٔ سخت‌افزاری کامپیوتری که مخصوص بدان و قابل حمل بوده و نوعاً یک ریزپردازنده‌است، در یک کارت پلاستیکی جای داده شده در حالیکه در پول الکترونیکی مبتنی بر نرم‌افزار، از یک نرم‌افزار تخصصی و مخصوص که بر روی کامپیوتر شخصی نصب شده، استفاده می‌شود.
ارزش موجود در پول الکترونیکی به چند طریق و به صورت الکترونیکی منتقل می‌شود. برخی از انواع پول الکترونیکی امکان انتقال موازنه‌های الکترونیکی را مستقیماً از یک مصرف کننده به دیگری و بدون دخالت شخص ثالث (همانند صادر کنندهٔ پول الکترونیکی) فراهم می‌آورند و آنچه که بیشتر متداول و مرسوم است آن است که تنها پرداخت‌های مجاز و ممکن، پرداخت از مصرف کننده به تاجر و همچنین امکان باز خرید ارزش پول الکترونیکی برای تجار است.
قابلیت انتقال، محدود به معاملاتی است که سابقهٔ آنها ثبت و ضبط شده باشد. در اکثر روش‌ها و رویه‌های محصول، برخی از جزییات معاملات بین تاجر و مصرف کننده در یک پایگاه دادهٔ مرکزی ثبت و ضبط می‌شود که قابل نمایش دادن و ارایه هستند. در مواردی که معاملات به طور مستقیم بین مصرف کنندگان امکان‌پذیر باشد، این اطلاعات بر روی دستگاه شخصی مصرف کننده ضبط می‌شود و تنها هنگامی میتواند از طریق دستگاه مرکزی نمایش داده شده و ارایه شود که مصرف کننده از طریق اپراتور (عامل طرح) پول الکترونیکی قرارداد بسته باشد.
تعداد شرکا و طرفینی که به نحو کار کردی و مؤثر در معاملات پول الکترونیکی دخیل و درگیر هستند، بسیار بیشتر از معاملات قراردادی است. عموماً در معاملهٔ پول الکترونیکی، چهار دسته از افراد دخیل هستند: صادر کنندهٔ ارزش پول الکترونیکی، اپراتور شبکه، فروشندهٔ سخت‌افزارها و نرم‌افزارهای خاص و ویژه، نقل و انتقال دهنده و تسویه کنندهٔ معاملات پول الکترونیکی. صادر کنندهٔ پول الکترونیکی مهمترین شخص در این میان است در حالیکه اپراتور شبکه و فروشنده، ارایه کنندگان خدمات فنی هستند و نهادهای انتقال دهنده و تسویه کنندهٔ پول الکترونیکی، بانکها و یا شرکت‌هایی با ماهیت بانک هستند که خدماتی را ارایه می‌دهند که مشابه با خدماتی است که برای دیگر ابزارهای پرداخت بدون پول نقد نیز ارایه می‌شود.
موانع فنی و اشتباهات انسانی میتواند اجرای معاملات را مشکل و یا غیر ممکن سازد درحالی‌که در معاملات مبتنی بر کاغذ چنین مشکلی با این حجم وجود ندارد.
مزايا
انتقال پول الكترونيك، نگهداري و جا به جايي آن بسيار راحت تر از پول كاغذي (پول سنتي) است، به سبب اين موضوع خريد و فروش الكترونيكي، تجارت الکترونیک و سرمايه گذاري الكترونيكي از شكل قديمي خود راحت تر و سريع تر است. اين مفاهيم موجب مي شود تا استفاده از آن ها به كسب و كار شركت ها و بنگاه هاي اقتصادي رونق دهد، حتي در سطح كلان باعث رونق اقتصاد كشورها وتجارت جهاني شود.
انواع پول الکترونیکی
پول الکترونیکی را به شیوه‌های مختلف تقسیم‌بندی می‌نمایند، در یکی از تقسیم‌بندی‌ها پول الکترونیکی را به دو دسته تقسیم می‌نمایند:
پول الکترونیکی شناسایی شده
این نوع پول الکترونیکی حاوی اطلاعاتی دربارة هویت مالک آن می‌باشد که تا حدودی مانند کارتهای اعتباری است. این پولها دارای قابلیت ردگیری می‌باشند و هویت دارنده آن قابل شناسایی است. قابلیت استفاده این پول در دو روش پیوسته و ناپیوسته امکان‌پذیر است.
پول الکترونیکی غیرقابل شناسایی (بی‌نام و نشان)
این نوع پول دیجیتالی خصوصیت مخفی بودن هویت فرد دارنده‌اش، را در بردارد، و از این لحاظ درست مانند پول کاغذی سنتی عمل می‌کند. هنگامی که پول دیجیتالی از حسابی برداشت شد بدون باقی گذاشتن هیچ اثری می‌توان آن را خرج نمود و با توجه به این نکته که هنگام ایجاد کردن پول دیجیتالی از امضاهای نامشخص استفاده می‌شود امکان پی‌گیری آن برای هیچ بانکی وجود ندارد. هر کدام از پولهای الکترونیکی فوق‌الذکر به دو دسته پول الکترونیکی پیوسته و پول الکترونیکی ناپیوسته تقسیم می‌شود.
پول
پول در تعریف ابتدایی آن وسیله، قطعه، شی، یا چیزیست که انسان‌ها برای تبادل خواسته‌ها، خدمات، کالاهای نیازها از آن استفاده می‌کنند. به صورت کلّی هر چیزی میتواند به عنوان پول مورد استفاده قرار گیرد. در زمانهای قدیم کالاها معمولاً به عنوان پول مورد استفاده قرار می‌گرفتند و در بسیاری کشورهای جهان طلا و نقره به عنوان پول رایج بودند. در حال حاضر تقریباً تمام پول مورد استفاده در تمامی کشورهای دنیا اصطلاحاً پول فیات است که به پولی اطلاق می‌شود که دارای ارزش ذاتی نبوده و کنترل ارزش آن در اختیار حکومت است. پول ظاهراً کلمه یونانی است (فرهنگ..)الفاظی شبیه پول در انگلیسی داریم. در بیشتر کشورهای دنیا پول در گردش دارای دو بخش پول مسکوک و پول بانکی است که پول بانکی اکثریت مقدار پول در گردش را تشکیل می‌دهد.
تاریخ پول
پول: پولیس پولی بود که با مس ساخته می شد . بعضی از علمای لغت می گویند کلمه پولس در آغاز در فنیقیه وضع شد و از آنجا به کشور های دیگر سرایت کرد و کلمه فلوس که هنوز در برخی از کشور های خاور نزدیک و خاور میانه مصطلح است همین پولس است و کلمه پول که در زبان فارسی امروزی متداول است از ریشه پولوس گرفته شده است و بر خلاف تصور بعضی از ریشه فولاد نیست. (ذبیح الله منصوری سرزمین جاوید ص 2199) در جوامع اولیه معمولاً مبادله کالا به صورت مبادله پایاپای انجام می‌گردید. در چنین سیستمی معمولاً مقدار معینی از یک کالا با مقدار معینی از کالای دیگر به صورت پایاپای مبادله می‌گردید. این سیستم تنها در اجتماعهای کوچک قابل استفاده است و با بزرگتر شدن جوامع انسانی نیاز به مبادله به وسیله پول شکل گرفت. در قدیم معمولاً پول یکی از کالاهای موجود در آن جامعه بود. به طور مثال در زمان قدیم در خاورمیانه جو به عنوان پول مورد استفاده قرار می‌گرفت و یا در قاره آمریکا صدف به عنوان پول استفاده می‌شد. به نوشته هرودت، مردم لیدیا اولین کسانی بودند که به استفاده از سکه نقره روی آوردند. با گسترش بانکها استفاده از رسیدهای بانکی به عنوان پول گسترش گرفت. در بین قرنهای ۱۷ تا ۱۹ میلادی در بیشتر کشورهای اروپایی استاندارد طلا مورد استفاده بود که در آن پول کاغذی دارای ارزش معین و ثابتی نسبت به طلا بود. بعد از جنگ جهانی دوم در کنفرانس برتون وودز بیشتر کشورهای دنیا به استفاده از پول فیات که به دلار آمریکا ثابت شده بود روی آوردند و دلار آمریکا تنها پولی بود که ارزش آن نسبت به طلا ثابت شده بود. در سال ۱۹۷۱ و در زمان ریچارد نیکسون آمریکا به صورت یکطرفه پیمان برتون وودز را لغو نمود و از این زمان به بعد تمامی پول مورد استفاده در دنیا تبدیل به پول فیات گردید.
در اقتصاد
در مفهوم اقتصادی پول بسیار متفاوت از تعریف عمومی آن است. حجم پول آثار کاملاً بارزی در اقتصاد داشته و بر نرخ تورم، بهره، بیکاری و تولید تأثیر گذار است. در مفهوم اقتصادی پول واحدی برای اندازه گیری تولید اقتصادی و نیز واحدی برای ذخیره ارزش اقتصادی می‌باشد. پول رایج باید ۵ ویژگی داشته باشد:
۱)مورد قبول عموم باشد.
۲)بادوام باشد.
۳)استفاده از آن آسان بوده و قابل تقسیم به قسمتهای کوچکتر باشد.
۴) دارای ارزش ثابت باشد.
۵) تولید ان محدود باشد.
انواع پول
در بیشتر تاریخ پول مورد استفاده در تمامی کشورهای دنیا، پول کالایی بوده است. حال آنکه اکتون در تمامی کشورهای دنیا پول فیات مورد استفاده قرار می‌گیرد.
پول کالایی
در این نوع پول هر کالایی میتواند مورد استفاده قرار گیرد. کالاهای رایج مورد استفاده فلزات نایاب مانند طلا و نقره و یا مس بوده ولیکن گاهی مواد دیگری نظیر مواد غذایی، سنگ، سیگار و غیره نیز مورد استفاده قرار گرفته‌اند.
پول فیات
پول فیات پولی است که فاقد هرگونه ارزش ذاتی بوده و ارزش آن تنها وابسته به حکومت است. در این نوع سیستم با از بین رفتن حکومت پول ضرب شده توسط آن حکومت نیز بی ارزش می‌شود. در زمان قدیم پول تمامی کشورها معمولاً به فلزات گرانبها نظیر طلا و نقره متصل بود. ولیکن بعد از لغو پیمان برتون وودز در سال ۱۹۷۱ به صورت یکجانبه از طرف آمریکا، در تمامی کشورهای دنیا پول مورد استفاده پول فیات است. به طور مثال در پشت اسکناسهای دلار آمریکا نوشته شده است که این پول legal tender است که معنی آن این است که قبول نکردن این پول برای مبادلات، غیرقانونی می‌باشد. پول فیات دارای این برتری نسبت به پول کالایی است که در صورت مخدوش شدن آن دولت صادر کننده پول هنوز آن را قبول می‌کند. به طور مثال می‌توان اسکناس دارای پارگی را با اسکناس نو تعویض نمود ولیکن مشابه چنین کاری در مورد پول کالایی وجود ندارد.
مسکوکات
مسکوکات در واقع پول ضرب شده توسط حکومت می‌باشد که میتواند به صورت سکه و یا اسکناس باشد.
پول بانکی
پول بانکی پولی است که در یک حساب بانکی بوده و قابل برداشت از شعب بانک و یا دستگاههای خودپرداز است. در تقریباً تمامی بانکهای دنیا بانک از سیستم بانکداری ذخیره کسری استفاده می‌کند که در آن بانک تنها بخشی از سپرده‌ها را به عنوان ذخیره نگه می‌دارد. پول بانکی دارای این تفاوت با پول مسکوک است که اولاً به صورت غیر فیزیکی بوده و تنها یک عدد در دفترچه حساب صاحب حساب است و ثانیاً اینکه در صورت از بین رفتن آن موسسه بانکی، پول ذخیره شده در آن نیز از بین می‌رود. سیستم بانکداری ذخیره کسری دارای خطرات تورمی زیادی است زیرا در هر بار پول جدیدی به پول در گردش هر کشور اضافه می‌شود. در تمامی کشورها بانک مرکزی میزان ذخیره مورد نیاز بانک را مشخص می‌کند. پول در گردش هر کشور معمولاً مجموع پول مسکوک و پول درون حسابهای بانکی است.
مکتبهای اقتصادی
دیدگاه کلاسیک
پول فقط وسیله مبادله است. و این دیدگاه توسط آلفرد مارشال مطرح شد. که از حاصل ضرب سرعت گردش پول برابر ارزش تولیدات حاصل می‌شود.
در سال‌های اخیر، مصرف کنندگان تمایل چشمگیری برای انجام مبادلات الکترونیکی از خود نشان داده‌اند. کاهش هزینه و افزایش سرعت دسترسی به اینترنت و مزایای اقتصادی و اجتماعی تجارت الکترونیکی از دلایل اصلی توجه مردم به اینگونه مبادلات است. تجارت الکترونیک واژه‌ای است که برای تجارت از طریق سیستم‌های اطلاعاتی- ارتباطی بکار می‌رود. در این گزارش مقدمه‌ای در مورد تجارت الکترونیکی آورده شده‌است که هدف از آن، آشنایی با ابعاد و زیرساخت‌های تجارت الکترونیکی و تبیین نقش و جایگاه انتقال الکترونیکی وجوه و بانکداری الکترونیکی در آن می‌باشد. سپس توضیحاتی در رابطه با بانکداری الکترونیکی، پرداخت الکترونیکی، مزایا و معایب آنها ذکر شده‌است. در ادامه پول الکترونیکی که یکی از مهمترین زیر سیستم‌های پرداخت الکترونیکی است معرفی می‌گردد و مزایا و معایب آن بررسی می‌شود. در واقع پول الکترونیکی یک مکانیسم پرداخت ارزش ذخیره شده یا پیش پرداخت شده‌است که در آن مقداری از وجوه یا ارزش که برای مصرف کننده قابل استفاده‌است، در یک وسیله و قطعهٔ الکترونیکی ذخیره شده و در تصرف مشتری است.
بانکداری الکترونیکی
بانکداری الکترونیک (ای-بانک) را می‌توان استفاده از تکنولوژی پیشرفته شبکه‌ها و مخابرات، جهت انتقال منبع (پول) در سیستم بانکداری معرفی کرد. در تعریفی دیگر، بانکداری الکترونیکی عبارت از ارائه کلیه خدمات بانکی به صورت الکترونیک و از طریق واسطه‌های ایمن و بدون نیاز به حضور فیزیکی مشتری است. در کشورهای پیشرفته دنیا مذاکرات بین خریدار و فروشنده، سفارش خرید، تهیه بیمه نامه، انتقال پول، حمل و نقل کالا و ترخیص از گمرکات به صورت الکترونیکی پشتیبانی می‌شود و روشهای نقل و انتقال پول به صورت الکترونیکی و حمل و نقل کالا بر اساس در خواست‌های الکترونیکی است که در این راستا بانکداری الکترونیکی از ارکان اصلی و لازمه تحقق این امر می‌باشد.
پرداخت الکترونیکی
زمان شروع پرداخت الکترونیکی را می‌توان سال ۱۹۱۸ دانست، یعنی هنگامی که بانکهای فدرال رزرو آمریکا به انتقال وجوه از طریق تلگراف می‌پرداختند. پرداخت الکترونیکی اشکال گوناگونی دارد که می‌توان آن را به دو دستهٔ اصلی تقسیم کرد:
سیستم‌های پرداخت برای معاملات عمده فروشی
سیستم‌های پرداخت برای معاملات خرده فروشی
در چنین مکانیسم‌هایی پرداخت به صورت برخط نیز وجود دارد و از طریق بررسی و کنترل زاویای مختلف سیستم، اعمال می‌شود. تعدادی از ابداعات در محدودهٔ پرداخت‌های الکترونیکی جزیی (خرده فروشی) به عنوان پول الکترونیکی شناخته شده‌اند. این ابداعات که در حال حاضر نیز در مرحلهٔ اول توسعه و پیشرفت قرار دارند، بالقوه دارای این قدرت هستند که قواعد حاکم بر پول نقد را در مورد پرداخت‌های خرده فروشی به چالش کشیده و در عین حال می‌توانند معاملات خرده فروشی را هم برای مصرف کننده و هم برای تجار، ساده تر و ارزانتر گردانند. در این زمینه ادعا شده‌است که پول الکترونیکی مفهومی جدید از کیف پول را ارایه نموده، سیستم پرداخت تجاری را برای اینترنت به وجود آورده و راه دولت‌ها را برای پرداخت به صورت الکترونیکی، تغییر داده و انقلابی را در گردش ارزش (پول) از طریق خطوط تلفن و امواج (الکترونیکی) پدید آورده‌است.
ویژگی‌های سیستم‌های پرداخت الکترونیکی
امنیت: ایمن ساختن اطلاعات به معنای جلوگیری از تحریف و دستیابی به اطلاعات توسط افراد غیر مجاز
تقسیم پذیری: بیشتر فروشندگان تنها کارتهای اعتباری را برای دامنه‌ای حداقل و حداکثر قبول می‌کنند بنابراین هرچه دامنه قبول پرداختها را زیادتر کند امکان پذیرش بیشتری دارد
قابلیت بررسی: سیستم باید تمام عملیات مالی را ثبت کند تا در صورت لزوم بتوان اشکالات و خطاهای احتمالی را ردیابی کرد
قابلیت اطمینان: سیستم باید بقدر کافی مستحکم باشد تا کاربران در صورت قطع برق پولها را از دست ندهند.
گمنامی: این مطلب با حریم خصوصی ارتباط دارد یعنی برخی خریداران تمایل دارند هویت و مشخصات خرید هایشان گمنام باقی بماند
عدم تکذیب : یک سیستم پرداخت اینترنتی باید گروههای درگیر را مطمئن و متعهد سازد که گروهی نتواند معاملات را انکار کرده و یا بطور غیر قانونی از زیر آن شانه خالی کند.
پول الکترونیکی
امروزه این مسئله پذیرفته شده‌است که بانکداری الکترونیکی میتواند به دو جریان مجزا تقسیم شود : یکی عبارت است از محصولات پول الکترونیکی، به ویژه در شکل محصولاتی که ارزش را ذخیره می‌کنند و دیگری عبارت است از تحویل یا دسترسی الکترونیکی به محصولات. این‌ها محصولاتی هستند که به مصرف کننده این امکان را می‌دهند تا از وسایل ارتباطی الکترونیکی استفاده کرده و به این ترتیب به خدمات پرداخت قراردادی دسترسی داشته باشند. به عنوان مثال: استفاده از یک کامپیوتر شخصی و یا شبکهٔ کامپیوتری (نظیر اینترنت) برای پرداخت کارت الکترونیکی یا ارسال دستوری برای انتقال وجوه بین حسابهای بانکی. از آنجایی‌که پول الکترونیکی همچنان در مراحل اولیهٔ پیشرفت است، هنوز تعریف واحدی از پول الکترونیکی وجود ندارد و اشخاص مختلفی پول الکترونیکی را به روشهای متفاوتی تعریف کرده و توضیح داده‌اند.
جامعهٔ اروپا در پیش نویس دستورالعمل خود، پول الکترونیکی را بدین‌گونه توصیف نموده است:
بر روی قطعه‌ای الکترونیکی همانند تراشهٔ کارت و یا حافظه‌کامپیوتر به صورت الکترونیکی ذخیره شده .
به عنوان یک وسیلهٔ پرداخت برای تعهدات اشخاصی غیر از مؤسسهٔ صادر کننده، پذیرفته شده‌است.
بدین منظور ایجاد شده‌است که به عنوان جانشین الکترونیکی برای سکه و اسکناس در دسترس و اختیار استفاده کنندگان قرار گیرد.
به منظور انتقال الکترونیکی وجوه و پرداخت‌های با مقدار محدود ایجاد شده‌است.
مشاور امور مصرف کنندگان آمریکا، پول الکترونیکی را به این عنوان توصیف نموده‌است : پولی است که به صورت الکترونیکی حرکت کرده و به گردش درمی آید و میتواند به صورت کارت هوشمند و یا کارت‌هایی که در آنها ارزش ذخیره شده، یا کیف پول الکترونیکی ارایه شود. همچنین میتواند در پایانهٔ فروش استفاده شده و یا بدون دخالت هیچ شخص دیگری و مستقیماً به صورت شخص به شخص مورد استفاده قرار گیرد و نیز میتواند از طریق خطوط تلفن به سوی بانکها و یا دیگر ارائه دهندگان خدمات یا صادرکنندگان (پول الکترونیکی) به حرکت درآمده و یا خرج شود.
ویژگی‌های پول الکترونیکی
ارزش بر روی قطعه و یا وسیلهٔ الکترونیکی و به صورت الکترونیکی ذخیره می‌شود. محصولات گوناگون از لحاظ اجرای تکنیکی متفاوت هستند. در پول الکترونیکی مبتنی بر کارت، یک قطعهٔ سخت‌افزاری کامپیوتری که مخصوص بدان و قابل حمل بوده و نوعاً یک ریزپردازنده‌است، در یک کارت پلاستیکی جای داده شده در حالیکه در پول الکترونیکی مبتنی بر نرم‌افزار، از یک نرم‌افزار تخصصی و مخصوص که بر روی کامپیوتر شخصی نصب شده، استفاده می‌شود.
ارزش موجود در پول الکترونیکی به چند طریق و به صورت الکترونیکی منتقل می‌شود. برخی از انواع پول الکترونیکی امکان انتقال موازنه‌های الکترونیکی را مستقیماً از یک مصرف کننده به دیگری و بدون دخالت شخص ثالث (همانند صادر کنندهٔ پول الکترونیکی) فراهم می‌آورند و آنچه که بیشتر متداول و مرسوم است آن است که تنها پرداخت‌های مجاز و ممکن، پرداخت از مصرف کننده به تاجر و همچنین امکان باز خرید ارزش پول الکترونیکی برای تجار است.
قابلیت انتقال، محدود به معاملاتی است که سابقهٔ آنها ثبت و ضبط شده باشد. در اکثر روش‌ها و رویه‌های محصول، برخی از جزییات معاملات بین تاجر و مصرف کننده در یک پایگاه دادهٔ مرکزی ثبت و ضبط می‌شود که قابل نمایش دادن و ارایه هستند. در مواردی که معاملات به طور مستقیم بین مصرف کنندگان امکان‌پذیر باشد، این اطلاعات بر روی دستگاه شخصی مصرف کننده ضبط می‌شود و تنها هنگامی میتواند از طریق دستگاه مرکزی نمایش داده شده و ارایه شود که مصرف کننده از طریق اپراتور (عامل طرح) پول الکترونیکی قرارداد بسته باشد.
تعداد شرکا و طرفینی که به نحو کار کردی و مؤثر در معاملات پول الکترونیکی دخیل و درگیر هستند، بسیار بیشتر از معاملات قراردادی است. عموماً در معاملهٔ پول الکترونیکی، چهار دسته از افراد دخیل هستند: صادر کنندهٔ ارزش پول الکترونیکی، اپراتور شبکه، فروشندهٔ سخت‌افزارها و نرم‌افزارهای خاص و ویژه، نقل و انتقال دهنده و تسویه کنندهٔ معاملات پول الکترونیکی. صادر کنندهٔ پول الکترونیکی مهمترین شخص در این میان است در حالیکه اپراتور شبکه و فروشنده، ارایه کنندگان خدمات فنی هستند و نهادهای انتقال دهنده و تسویه کنندهٔ پول الکترونیکی، بانکها و یا شرکت‌هایی با ماهیت بانک هستند که خدماتی را ارایه می‌دهند که مشابه با خدماتی است که برای دیگر ابزارهای پرداخت بدون پول نقد نیز ارایه می‌شود.
موانع فنی و اشتباهات انسانی میتواند اجرای معاملات را مشکل و یا غیر ممکن سازد درحالی‌که در معاملات مبتنی بر کاغذ چنین مشکلی با این حجم وجود ندارد.
مزايا
انتقال پول الكترونيك، نگهداري و جا به جايي آن بسيار راحت تر از پول كاغذي (پول سنتي) است، به سبب اين موضوع خريد و فروش الكترونيكي، تجارت الکترونیک و سرمايه گذاري الكترونيكي از شكل قديمي خود راحت تر و سريع تر است. اين مفاهيم موجب مي شود تا استفاده از آن ها به كسب و كار شركت ها و بنگاه هاي اقتصادي رونق دهد، حتي در سطح كلان باعث رونق اقتصاد كشورها وتجارت جهاني شود.
انواع پول الکترونیکی
پول الکترونیکی را به شیوه‌های مختلف تقسیم‌بندی می‌نمایند، در یکی از تقسیم‌بندی‌ها پول الکترونیکی را به دو دسته تقسیم می‌نمایند:
پول الکترونیکی شناسایی شده
این نوع پول الکترونیکی حاوی اطلاعاتی دربارة هویت مالک آن می‌باشد که تا حدودی مانند کارتهای اعتباری است. این پولها دارای قابلیت ردگیری می‌باشند و هویت دارنده آن قابل شناسایی است. قابلیت استفاده این پول در دو روش پیوسته و ناپیوسته امکان‌پذیر است.
پول الکترونیکی غیرقابل شناسایی (بی‌نام و نشان)
این نوع پول دیجیتالی خصوصیت مخفی بودن هویت فرد دارنده‌اش، را در بردارد، و از این لحاظ درست مانند پول کاغذی سنتی عمل می‌کند. هنگامی که پول دیجیتالی از حسابی برداشت شد بدون باقی گذاشتن هیچ اثری می‌توان آن را خرج نمود و با توجه به این نکته که هنگام ایجاد کردن پول دیجیتالی از امضاهای نامشخص استفاده می‌شود امکان پی‌گیری آن برای هیچ بانکی وجود ندارد. هر کدام از پولهای الکترونیکی فوق‌الذکر به دو دسته پول الکترونیکی پیوسته و پول الکترونیکی ناپیوسته تقسیم می‌شود.
پول
پول در تعریف ابتدایی آن وسیله، قطعه، شی، یا چیزیست که انسان‌ها برای تبادل خواسته‌ها، خدمات، کالاهای نیازها از آن استفاده می‌کنند. به صورت کلّی هر چیزی میتواند به عنوان پول مورد استفاده قرار گیرد. در زمانهای قدیم کالاها معمولاً به عنوان پول مورد استفاده قرار می‌گرفتند و در بسیاری کشورهای جهان طلا و نقره به عنوان پول رایج بودند. در حال حاضر تقریباً تمام پول مورد استفاده در تمامی کشورهای دنیا اصطلاحاً پول فیات است که به پولی اطلاق می‌شود که دارای ارزش ذاتی نبوده و کنترل ارزش آن در اختیار حکومت است. پول ظاهراً کلمه یونانی است (فرهنگ..)الفاظی شبیه پول در انگلیسی داریم. در بیشتر کشورهای دنیا پول در گردش دارای دو بخش پول مسکوک و پول بانکی است که پول بانکی اکثریت مقدار پول در گردش را تشکیل می‌دهد.
تاریخ پول
پول: پولیس پولی بود که با مس ساخته می شد . بعضی از علمای لغت می گویند کلمه پولس در آغاز در فنیقیه وضع شد و از آنجا به کشور های دیگر سرایت کرد و کلمه فلوس که هنوز در برخی از کشور های خاور نزدیک و خاور میانه مصطلح است همین پولس است و کلمه پول که در زبان فارسی امروزی متداول است از ریشه پولوس گرفته شده است و بر خلاف تصور بعضی از ریشه فولاد نیست. (ذبیح الله منصوری سرزمین جاوید ص 2199) در جوامع اولیه معمولاً مبادله کالا به صورت مبادله پایاپای انجام می‌گردید. در چنین سیستمی معمولاً مقدار معینی از یک کالا با مقدار معینی از کالای دیگر به صورت پایاپای مبادله می‌گردید. این سیستم تنها در اجتماعهای کوچک قابل استفاده است و با بزرگتر شدن جوامع انسانی نیاز به مبادله به وسیله پول شکل گرفت. در قدیم معمولاً پول یکی از کالاهای موجود در آن جامعه بود. به طور مثال در زمان قدیم در خاورمیانه جو به عنوان پول مورد استفاده قرار می‌گرفت و یا در قاره آمریکا صدف به عنوان پول استفاده می‌شد. به نوشته هرودت، مردم لیدیا اولین کسانی بودند که به استفاده از سکه نقره روی آوردند. با گسترش بانکها استفاده از رسیدهای بانکی به عنوان پول گسترش گرفت. در بین قرنهای ۱۷ تا ۱۹ میلادی در بیشتر کشورهای اروپایی استاندارد طلا مورد استفاده بود که در آن پول کاغذی دارای ارزش معین و ثابتی نسبت به طلا بود. بعد از جنگ جهانی دوم در کنفرانس برتون وودز بیشتر کشورهای دنیا به استفاده از پول فیات که به دلار آمریکا ثابت شده بود روی آوردند و دلار آمریکا تنها پولی بود که ارزش آن نسبت به طلا ثابت شده بود. در سال ۱۹۷۱ و در زمان ریچارد نیکسون آمریکا به صورت یکطرفه پیمان برتون وودز را لغو نمود و از این زمان به بعد تمامی پول مورد استفاده در دنیا تبدیل به پول فیات گردید.
در اقتصاد
در مفهوم اقتصادی پول بسیار متفاوت از تعریف عمومی آن است. حجم پول آثار کاملاً بارزی در اقتصاد داشته و بر نرخ تورم، بهره، بیکاری و تولید تأثیر گذار است. در مفهوم اقتصادی پول واحدی برای اندازه گیری تولید اقتصادی و نیز واحدی برای ذخیره ارزش اقتصادی می‌باشد. پول رایج باید ۵ ویژگی داشته باشد:
۱)مورد قبول عموم باشد.
۲)بادوام باشد.
۳)استفاده از آن آسان بوده و قابل تقسیم به قسمتهای کوچکتر باشد.
۴) دارای ارزش ثابت باشد.
۵) تولید ان محدود باشد.
انواع پول
در بیشتر تاریخ پول مورد استفاده در تمامی کشورهای دنیا، پول کالایی بوده است. حال آنکه اکتون در تمامی کشورهای دنیا پول فیات مورد استفاده قرار می‌گیرد.
پول کالایی
در این نوع پول هر کالایی میتواند مورد استفاده قرار گیرد. کالاهای رایج مورد استفاده فلزات نایاب مانند طلا و نقره و یا مس بوده ولیکن گاهی مواد دیگری نظیر مواد غذایی، سنگ، سیگار و غیره نیز مورد استفاده قرار گرفته‌اند.
پول فیات
پول فیات پولی است که فاقد هرگونه ارزش ذاتی بوده و ارزش آن تنها وابسته به حکومت است. در این نوع سیستم با از بین رفتن حکومت پول ضرب شده توسط آن حکومت نیز بی ارزش می‌شود. در زمان قدیم پول تمامی کشورها معمولاً به فلزات گرانبها نظیر طلا و نقره متصل بود. ولیکن بعد از لغو پیمان برتون وودز در سال ۱۹۷۱ به صورت یکجانبه از طرف آمریکا، در تمامی کشورهای دنیا پول مورد استفاده پول فیات است. به طور مثال در پشت اسکناسهای دلار آمریکا نوشته شده است که این پول legal tender است که معنی آن این است که قبول نکردن این پول برای مبادلات، غیرقانونی می‌باشد. پول فیات دارای این برتری نسبت به پول کالایی است که در صورت مخدوش شدن آن دولت صادر کننده پول هنوز آن را قبول می‌کند. به طور مثال می‌توان اسکناس دارای پارگی را با اسکناس نو تعویض نمود ولیکن مشابه چنین کاری در مورد پول کالایی وجود ندارد.
مسکوکات
مسکوکات در واقع پول ضرب شده توسط حکومت می‌باشد که میتواند به صورت سکه و یا اسکناس باشد.
پول بانکی
پول بانکی پولی است که در یک حساب بانکی بوده و قابل برداشت از شعب بانک و یا دستگاههای خودپرداز است. در تقریباً تمامی بانکهای دنیا بانک از سیستم بانکداری ذخیره کسری استفاده می‌کند که در آن بانک تنها بخشی از سپرده‌ها را به عنوان ذخیره نگه می‌دارد. پول بانکی دارای این تفاوت با پول مسکوک است که اولاً به صورت غیر فیزیکی بوده و تنها یک عدد در دفترچه حساب صاحب حساب است و ثانیاً اینکه در صورت از بین رفتن آن موسسه بانکی، پول ذخیره شده در آن نیز از بین می‌رود. سیستم بانکداری ذخیره کسری دارای خطرات تورمی زیادی است زیرا در هر بار پول جدیدی به پول در گردش هر کشور اضافه می‌شود. در تمامی کشورها بانک مرکزی میزان ذخیره مورد نیاز بانک را مشخص می‌کند. پول در گردش هر کشور معمولاً مجموع پول مسکوک و پول درون حسابهای بانکی است.
مکتبهای اقتصادی
دیدگاه کلاسیک
پول فقط وسیله مبادله است. و این دیدگاه توسط آلفرد مارشال مطرح شد. که از حاصل ضرب سرعت گردش پول برابر ارزش تولیدات حاصل می‌شود.